Скрыть решение
Решение
Ответ: нет.
Пусть
M — многогранник, рёбра которого покрашены требуемым образом.
Докажем, что число рёбер у
M чётно. В самом деле, если
i-м (
i = 1, 2)
цветом покрашено х
i рёбер, то суммарное (по всем граням) число сторон
этого цвета равно 2х
i (поскольку каждое ребро служит стороной ровно двум
граням). А так как у каждой грани сторон разных цветов поровну, то
2х
1 = 2
x2 т. е.
х
1 = х
2 и общее число рёбер
х
1 + х
2 чётно. Ответ
на вопрос задачи отрицательный, поскольку можно привести пример
многогранника, число сторон каждой грани которого чётно, а общее число рёбер
нечётно. На рисунке показан девятигранник, имеющий 19 рёбер и ограниченный
одной шестиугольной и восемью четырёхугольными гранями. (Такой девятигранник
получится, если от шестиугольной призмы отсечь две части, расположенные ``
выше"" плоскостей, проходящих через одну из больших диагоналей верхнего
основания и пересекающих по три боковые грани.)
Ответ
Ответ
Нет.