Задача No. 78617

Решение

Допустим, что такие числа x и y нашлись. По условию, числа x и y состоят из одинакового количества цифр. Так как x < x + y = 9999...99 (1967 девяток), то это количество не превосходит 1967. С другой стороны, если оно меньше, чем 1967, то

x + y $\displaystyle \le$ $\displaystyle \underbrace{9999\dots 99}_{{\rm\relax $1966$~девяток}}^{}\,$ + $\displaystyle \underbrace{9999\dots 99}_{{\rm\relax $1966$~девяток}}^{}\,$ < $\displaystyle \underbrace{9999\dots 99}_{{\rm\relax $1967$~девяток}}^{}\,$ .

Следовательно, x = $\overline{x_1\dots x_{1967}}$ . Но тогда y = $\underbrace{9999\dots 99}_{{\rm\relax $1967$~девяток}}^{}\,$ - $\overline{x_1\dots x_{1967}}$ = $\overline{y_1\dots y_{1967}}$ , где y_k = 9 - x_k. Таким образом, в записи числа x число нулей равно числу девяток, число единиц — числу восьмёрок,..., число четвёрок — числу пятёрок. Но это невозможно, так как число x состоит из нечётного количества цифр.

Условие

Решение