Скрыть решение
Решение
Докажем по индукции, что начальный отрезок нашей последовательности равен
1966
, 44
, 44
, 45
, 45
, .. , где после числа
1966
каждое натуральное число,
большее 43, встречается ровно 2 раза подряд, кроме чисел вида
74
· 2
k ,
которые встречаются 3 раза подряд (сравни с решением задачи
78594
).
Пусть мы уже доказали, что начальный отрезок нашей
последовательности имеет требуемый вид
1966
,44
,44
,45
,45
,..n-1
,n-1
,n,n .
Найдем ее следующий член. Возьмем наименьшее
k для которого
74
· 2
k>n . Сумма выписанных чисел равна
s=1966
+2(44
+45
+..n)
+74
+2
· 74
+..2
k-1
· 74
=(
n-43)(
n+44)
+2
k· 74
+44
2=n2+n+2
k· 74
.
Если
n=2
k· 74
, то
(
n)
2
s<(
n+1)
2 , то есть следующий член
последовательности равен
n . Иначе
n+1
2
k· 74
2
n ,
и
(
n+1)
2
s<(
n+2)
2 , то есть следующий член последовательности
равен
n+1
. Аналогично находятся следующие члены последовательностей
1966
,44
,44
,1
,.. n-1
,n и
1966
,44
,44
,.. n-1
,n, n, n .
Из явного вида последовательности число
a1966
находится простым
подсчетом.
Ответ
1024