Уроки 24–25. Дерево вычисления

Материалы к урокам: лист определений «Дерево вычисления», бумажные задачи 61–66 (1 часть), компьютерный урок «Дерево вычисления» (задачи 495–500), занятие 8 на Клавиатурном тренажере.

На каждом из уроков по данной теме работа с бумажным учебником интегрируется с компьютерной составляющей. На первом уроке ребята изучают новый лист определений, решают две обязательные задачи и затем переходят к работе с Клавиатором. На втором уроке ребята решают компьютерные задачи уроков и дорешивают все оставшиеся задачи из бумажного учебника.

Дерево вычисления

Мы уже не раз обращали ваше внимание на то, что многие структуры, изучаемые в нашем курсе (например, цепочки или мешки), являются не чисто информатическими, а универсальными: эти понятия используются в других школьных предметах, в науке, применяются в производстве, встречаются в обыденной жизни. Понятие дерева в этом плане не является исключением. «Древесная» структура помогает нам в случае, когда объект (процесс, класс предметов и т. д.) на каждом шаге распадается на несколько объектов (возможностей, подвидов и т. д.). Поэтому с помощью дерева мы можем организовать эффективный перебор вариантов при раскрытии цепочки мешков и при поиске всех возможных программ заданной длины для Робота, строить различные классификации и родословные (фамильные) деревья. На данном листе определений ребята знакомятся еще с одной областью применения деревьев. С помощью деревьев удобно изображать процесс вычисления значения арифметического выражения, ведь в результате каждого арифметического действия с двумя числами мы получаем одно число, которое на следующем шаге также служит компонентом некоторого действия. Так постепенно мы двигаемся от одной ступени действий к другой, руководствуясь правилами порядка действий, и доходим до результата. Естественно представить подобный процесс в виде дерева, где листья – числа, входящие в пример, а общая предыдущая бусина для двух листьев – результат выполнения некоторого действия. Далее с полученными результатами мы можем делать аналогичным образом следующие действия, постепенно доходя до корневой бусины – значения выражения.

Примерно так же в виде дерева можно представить процесс приготовления кулинарных блюд, где постепенное соединение ингредиентов по парам или группам (и их последующее смешивание, варка, жарка и пр.) приводит на каждом шаге к появлению одного полуфабриката, а в итоге к появлению некоторого блюда. Аналогично можно представить процесс сборки различных механизмов и т. п.

Как вы могли заметить, дерево вычисления имеет и свои отличия от тех деревьев, с которыми ребятам приходилось работать раньше. Первое из них состоит в том, что обычно, работая с деревьями (строя или анализируя), мы двигались от корневой бусины к листьям. Здесь же естественный порядок построения и исследования дерева обратный: от листьев к корню. Вторая особенность дерева вычислений состоит в том, что раньше ребятам чаще всего нужно было проследить по дереву только какой-то один путь (или несколько), теперь для вычисления значения выражения непременно надо «пройти» по всему дереву, не пропустив ни одной бусины.

Еще одна особенность дерева вычисления – необходимость дополнительной информации: для каждой пары чисел нам нужно указать, какую именно арифметическую операцию надо выполнить с этими числами, иначе дерево не будет содержать необходимую для вычисления значения выражения информацию. Эту дополнительную информацию по договоренности можно обозначить самыми разными способами. Мы выбрали, на наш взгляд, самый простой и однозначно воспринимаемый способ – раскраску бусины-результата в соответствующий цвет. Это вопрос нашей общей договоренности, поэтому от ребят мы не требуем запоминания обозначений цветов действий. В наших задачах мы всегда будем использовать одну и ту же раскладку цветов (сложению будет соответствовать зеленый, вычитанию – синий, умножению – красный, делению – желтый цвет). Мы используем бледные оттенки этих цветов, чтобы числа, написанные на цветных бусинах, выделялись четко. В каждой задаче, посвященной деревьям вычислений, мы будем помещать раскладку цветов (в задачах 61 и 62 дети будут пользоваться раскладкой, приведенной на листе определений). В дальнейшем появятся и задачи на самостоятельное построение дерева вычислений. В такой задаче учащемуся придется самостоятельно создать раскладку цветов, и такая раскладка совсем необязательно должна будет совпадать с той, которая приведена на листе определений. Это мы еще раз обсудим позднее.

До сих пор мы не упорядочивали бусины внутри уровня дерева – не говорили о первой, последней или левой–правой бусинах третьего уровня и т. п. Но в дереве вычислений мы будем по возможности следить за тем, чтобы общий «горизонтальный» порядок листьев был таким же, как в заданном арифметическом выражении: если какое-то число идет в выражении раньше другого, то и в дереве оно должно стоять левее (хотя, быть может, и на другом уровне). И это еще одна отличительная особенность дерева вычислений. Важно соблюдать это правило при работе с арифметическими действиями, не обладающими переместительным свойством, – вычитанием и делением. При обсуждении листа определений обязательно обратите на это внимание ребят. Чтобы не перегружать лист определений сложными текстами, мы не стали писать об этой договоренности вычитать и делить слева направо, просто именно так мы всегда будем поступать.

Решение бумажных задач

Задача 61. Впервые в нашем курсе встречаются задания, которые несут вычислительную нагрузку. Естественно кому-то из ребят это понравится, кому-то нет. Для учителя такие задания могут стать хорошим поводом для организации интегрированных уроков с математикой – занятий на отработку вычислительных навыков. В дальнейшем подобные задания можно использовать на уроках математики для упражнения в устном счете. Мы старались, чтобы вычисления, необходимые при решении подобных задач, были нетрудными: ведь основная нагрузка задания состоит не в том, чтобы вычислить значение выражения, а в том, чтобы научиться правильно работать с деревом вычислений.

В данной задаче от ребят требуется только заполнить цветные бусины дерева – вычислить и записать в соответствующие бусины значения арифметических действий. Конечно, поначалу это будет не так просто, постарайтесь дать детям возможность разобраться самостоятельно. Потом можно обсудить решение всем вместе или индивидуально. Можно ли сразу заполнить корневую бусину или бусину второго уровня? Хорошо, если дети смогут сами ответить на этот и подобные вопросы.

Заметим, что в вычислении значения выражения по дереву ошибиться в порядке действий гораздо сложнее, чем в примере. Действительно, ребенок просто не сможет по дереву начать с того действия, которое нужно делать позже, ведь в соответствующих бусинах пусто, а все те действия, которые можно выполнить сразу (в бусинах есть нужные числа), на самом деле допускают различный порядок выполнения. Так, например, в дереве Т можно сначала выполнить действия с числами 24 и 10, а затем 96 и 84, а можно поступить наоборот. В дереве S можно сначала выполнять действия с бусинами 46 и 14, а затем 80 и 16 либо наоборот. Если кто-то из ребят вас спросит, то обсуждать это лучше в индивидуальном порядке, в зависимости от уровня развития ребенка. С сильным ребенком можно обсудить общее правило порядка вычисления по дереву. Оно просто – сначала выполняются действия предпоследнего уровня (на последнем уровне всегда только листья и там ничего вычислять не нужно), затем предыдущего и т. д., пока мы не дойдем до корневой бусины. Причем если на одном уровне находятся несколько действий, то порядок их выполнения может быть любым (порядок не влияет на результат). Для слабого ребенка при этом опора на правила порядка действий может оставаться единственной возможностью найти правильный ответ в примере, поэтому его не стоит запутывать. Если такой ребенок вас спросит, в какой последовательности надо выполнять действия на одном уровне, то можно сказать, что, как обычно, слева направо.

При выполнении подобных заданий ребята часто забывают перенести ответ из корневой бусины в окно в примере, на это нужно обратить внимание.
Ответ:


Задача 62. Эта задача уже сложнее предыдущей, здесь надо заполнить не только цветные, но и белые бусины дерева (листья), т. е. расставить числа, входящие в пример. Например, все предыдущие бусины перед листьями последнего уровня первого дерева – синие (значит, все листья последнего уровня участвуют только в вычитании), и ребятам сложнее разобраться, какие числа в какие бусины последнего уровня вписывать. Поэтому полезно посмотреть, что с результатами вычитаний будет происходить дальше, – обратить внимание на цвет бусин второго уровня. Вы, наверное, увидите, что некоторые дети впишут числа в листья быстро, почти не задумываясь. Это не случайно, ведь мы стараемся выстраивать листья в дереве слева направо, так же как числа в записи примера.

После того как числа, встречающиеся в примере, правильно расставлены, задача становится аналогичной предыдущей. У второго дерева есть одна особенность, которая еще нигде не встречалась и которую, возможно, заметят дети: одна из бусин дерева (корневая) имеет не две, а три следующих. Как известно, сложение обладает переместительным и сочетательным свойствами, в силу чего несколько чисел мы можем складывать в любом порядке и даже одновременно. Поэтому, если в примере встречается сложение нескольких чисел подряд (без скобок между слагаемыми), мы будем рисовать в дереве три (или более) бусины, следующие за одной.
Ответ: 80 и 80.


Задача 63. Необязательная. Данная задача – «сказочный» аналог игры в Камешки. В переводе на игровой язык она будет выглядеть так: «В начальной позиции 5 камешков, за один ход игрок может брать 1, 3 или 4 камешка. Как должен играть Первый, чтобы выиграть, как бы ни играл Второй?» Как видите, эта задача не просто на написание цепочки игры, а на нахождение выигрышной стратегии, которая будет подробно обсуждаться в дальнейшем. Поэтому данная задача пропедевтическая, хотя и не очень сложная. Сильные учащиеся сами увидят аналогию между сказочной и игровой ситуациями. От ребят потребуется понимание того, что Алешина стратегия должна быть такой, чтобы обеспечить ему выигрыш, как бы ни вел себя Добрыня (ведь Алеша может влиять лишь на свои действия). Например, такой ответ «Алеша должен отрубить одну голову, Добрыня – 3, а затем Алеша одну оставшуюся» не подойдет. Проще всего ребятам будет решать эту задачу перебором по числу отрубленных Алешей за первый подход к змею голов. Возможностей три: в результате первого подхода Алеша может отрубить 1, 3 или 4 головы. Дальше в каждом из случаев следует разобраться, как поединок может пойти дальше. Если Алеша за первый подход к змею отрубит 4 головы, то змея точно победит Добрыня (отрубит последнюю голову). Если Алеша отрубит 1 голову, то Добрыня может отрубить 4 оставшиеся и победить змея, значит, Алеша не может гарантировать себе победу. А если Алеша отрубит 3 головы, то Добрыня дальше сможет отрубить лишь одну, а одна останется Алеше, т. е. он точно будет победителем.
Правильно и понятно написать ответ – еще одна, дополнительная трудность в этой задаче. Попросите ребят писать сначала на черновике, чтобы у них была возможность отредактировать свой текст и переписать набело.
Ответ: Алеше нужно сначала отрубить у змея 3 головы. Тогда Добрыня Никитич сможет отрубить только одну голову. После этого последнюю голову отрубит Алеша и станет победителем.
Задача 64. Здесь ребята повторяют лист определений «Раскрытие цепочки мешков». При этом в одном из мешков цепочки есть две одинаковые бусины, значит, на втором уровне дерева также будут 2 одинаковые бусины. Это приведет к появлению одинаковых путей в дереве и одинаковых цепочек в мешке.
Ответ:


Задача 65. Здесь ребятам необходимо не просто заполнить пустые бусины дерева вычисления, но и написать выражение, для которого данное дерево было бы деревом его вычисления. Если при решении задач 61 и 62 ребята могли опираться на арифметические выражения, знакомые им из курса математики, то здесь полное и ясное понимание материала листа определения становится для решения задачи обязательным. Незаполненные деревья N и P отличаются только цветом пустых бусин. Значит, арифметические выражения будут составлены из одних и тех же чисел, но знаки между соответствующими числами будут различными.

В дереве N при сложении чисел 16, 4 и 23 задан определенный порядок (сначала складываются 16 и 4, затем к результату прибавляется 23), в то время как в задаче 62 (во втором дереве) три слагаемых складывались одновременно. Действительно, в наших тетрадях будет встречаться и та и другая ситуация. В данной задаче, чтобы указать представленный в дереве порядок действий, лучше всего поставить скобки: 23+(16+4). Несколько хуже, если учащийся напишет 16+4+23, а например, вариант 23+4+16 в данном случае следует считать ошибочным, хотя на значение выражения порядок сложения не повлияет.

Работа с деревом Р – хороший повод повторить особенные случаи умножения и деления, ведь здесь встречается деление числа на себя и умножение на 1.
Ответ:


Задача 66 – задача на повторение. Она потребует от детей внимания и сосредоточенности. Тем детям, которые затрудняются в ее решении, предложите сначала вспомнить алфавитный порядок слов в словаре. Ребята сразу заметят, что первая буква у всех слов – С, а вторая – О. Теперь ничего не остается, как упорядочивать слова по третьей букве, т. е. сначала искать все слова, у которых на третьем месте буква А, далее буква Б, потом буква В и т. д. Облегчает выполнение задания то, что в мешке есть лишь два слова, в которых третьи буквы одинаковые: СОН и СОНЯ. Возможно, кому-то из ребят придется напомнить, что в подобных случаях раньше идет то слово, у которого четвертой буквы вообще нет (СОН). При расстановке столь большого числа слов в алфавитном порядке возможны ошибки, которые трудно будет потом исправить, если учащиеся сразу напишут слова ручкой. Как всегда, лучше писать слова в цепочку сначала карандашом. Кроме того, слова, уже записанные в цепочку, можно вычеркивать из мешка.
Ответ:


Решение компьютерных задач

Задача 495. В данном случае компьютерная задача аналогична соответствующим бумажным (см. комментарии к бумажным задачам 61 и 62). При дефиците времени ее можно пропустить или предложить выборочно тем ученикам, которые не до конца разобрались с новым понятием.

Задача 496. Задача на построение дерева арифметического выражения. Подобных бумажных задач в курсе нет, поскольку на бумаге при решении такой задачи на ребенка ложится слишком много технической работы (рисование, раскрашивание и т. д.), поэтому подобная бумажная задача заняла бы много времени. Компьютерные возможности позволяют построить дерево вычисления достаточно легко, в результате ребенок может сосредоточиться на содержании задачи. Лучше сначала спланировать общую структуру дерева. Так в нашем примере есть три ступени действий, которые необходимо делать друг за другом. Первыми нужно делать действия первой ступени – действия в скобках, затем нужно делать умножение (действие второй ступени) и наконец сложение (действие третьей ступени). Таким образом числа, входящие в действия первой ступени будут находиться в листьях, результаты этих действий – в бусинах предыдущего уровня, результат умножения – на один уровень раньше и результат сложения (ответ в примере) – на первом уровне (в корневой бусине). Таким образом, наше дерево будет иметь 4 уровня бусин: на первом уровне одна бусина, на втором – две, на третьем – две, на четвертом – четыре. После того как мы определились с общей структурой дерева, можно строить дерево (с помощью инструмента «дерево»), выбирая из библиотеки прямоугольники соответствующие цветам действий и нужные числа.

Задача 497. Аналогичную задачу ребята уже решали (см. комментарии к компьютерной задаче 478).

Задача 498. Задача на повторение, в которой нужно построить цепочку по описанию. Из первого утверждения следует, что последняя фигурка в цепочке не должна быть семиугольной звездой (иначе утверждение потеряет смысл). Значит (в силу второго и третьего утверждения) остальные фигурки в цепочке – семиугольные звезды. Что касается цвета, начиная со второй фигурки должны быть синими. Таким образом мы получаем следующую цепочку: первая фигурка – семиугольная звезда любого цвета, вторая-шестая фигурки – синие семиугольные звезды, последняя фигурка – синяя звезда не семиугольной формы.

Задача 499. Задача аналогичная компьютерной задаче 496. Как и в задаче 496, в дереве вычисления здесь будет 4 уровня.

Задача 500. Необязательная. Задача на повторение сравнения фигурок с помощью наложения. Она предназначена в основном для средних и слабых детей, сильным ученикам подобные задачи решать, скорее всего, будет скучно.