Геометрическая прогрессия

Напомним: геометрической прогрессией называется последовательность, у которой любой член, кроме первого, является средним геометрическим двух соседних: Частное двух соседних членов геометрической прогрессии постоянно:
q = bn + 1/bn.
Это число называется знаменателем геометрической прогрессии, т. е. каждый член отличается от предыдущего в q раз. (Будем считать, что q ≠ 1, иначе все уж слишком тривиально). Нетрудно видеть, что общая формула n-го члена геометрической прогрессии bn = b1qn – 1; члены с номерами bn и bm отличаются в qn – m раз.

Уже в Древнем Египте знали не только арифметическую, но и геометрическую прогрессию. Вот, например, задача из папируса Райнда: «У семи лиц по семи кошек; каждая кошка съедает по семи мышей, каждая мышь съедает по семи колосьев, из каждого колоса может вырасти по семь мер ячменя. Как велики числа этого ряда и их сумма?»

Решение

 

Рис. 1. Древнеегипетская задача о геометрической прогресии

Эта задача много раз с разными вариациями повторялась и у других народов в другие времена. Например, в написанной в XIII в. «Книге об абаке» Леонардо Пизанского (Фибоначчи) есть задача, в которой фигурируют 7 старух, направляющихся в Рим (очевидно, паломниц), у каждой из которых 7 мулов, на каждом из которых по 7 мешков, в каждом из которых по 7 хлебов, в каждом из которых по 7 ножей, каждый из которых в 7 ножнах. В задаче спрашивается, сколько всего предметов.

Ответ

Сумма первых n членов геометрической прогрессии Sn = b1 (qn – 1) / (q – 1). Эту формулу можно доказать, например, так: Sn = b1 + b1q + b1q2 + b1q3 + ... + b1qn – 1.

Добавим к Sn число b1qn и получим:

Sn + b1qn = b1 + b1q + b1q2 + b1q3 + ... + b1qn – 1 + b1qn = b1 + (b1 + b1q + b1q2 + b1q3 + ... + b1qn –1q = b1 + Snq.

Отсюда Sn (q – 1) = b1 (qn – 1), и мы получаем необходимую формулу.

Уже на одной из глиняных табличек Древнего Вавилона, относящейся к VI в. до н. э., содержится сумма 1 + 2 + 22 + 23 + ... + 29 = 210 – 1. Правда, как и в ряде других случаев мы не знаем, откуда этот факт был известен вавилонянам.

Быстрое возрастание геометрической прогрессии в ряде культур, – в частности, в индийской, – неоднократно используется как наглядный символ необозримости мироздания. В известной легенде о появлении шахмат властелин предоставляет их изобретателю возможность самому выбрать награду, и тот просит такое количество пшеничных зерен, которое получится, если одно положить на первую клетку шахматной доски, два – на вторую, четыре – на третью, восемь – на четвертую и т. д., всякий раз число увеличивается вдвое. Владыка думал, что речь идет, самое большое, о нескольких мешках, но он просчитался. Нетрудно видеть, что за все 64 клетки шахматной доски изобретатель должен был бы получить (264 – 1) зерно, что выражается 20-значным числом; даже если засевать всю поверхность Земли, потребовалось бы не менее 8 лет, чтобы собрать необходимое количество зерен. Эту легенду иногда интерпретируют как указание на практически неограниченные возможности, скрытые в шахматной игре.

Модель 1. Появление легенды о изобретателе шахмат

То, что это число действительно 20-значное, увидеть нетрудно:

264 = 24 ∙ (210)6 = 16 ∙ 10246 ≈ 16 ∙ 10006 = 1,6∙1019 (более точный расчет дает 1,84∙1019). А вот интересно, сможете ли вы узнать, какой цифрой оканчивается данное число?

Ответ

Геометрическая прогрессия бывает возрастающей, если знаменатель по модулю больше 1, или убывающей, если он меньше единицы. В последнем случае число qn при достаточно больших n может стать сколь угодно малым. В то время как возрастающая геометрическая прогрессия возрастает неожиданно быстро, убывающая столь же быстро убывает.

Чем больше n, тем слабее число qn отличается от нуля, и тем ближе сумма n членов геометрической прогрессии Sn = b1 (1 – qn) / (1 – q) к числу S = b1 / (1 – q). (Так рассуждал, например, Ф. Виет). Число S называется суммой бесконечно убывающей геометрической прогрессии. Тем не менее, долгие века вопрос о том, какой смысл имеет суммирование ВСЕЙ геометрической прогрессии, с ее бесконечным числом членов, не был достаточно ясен математикам.

Убывающую геометрическую прогрессию можно видеть, например, в апориях Зенона «Деление пополам» и «Ахиллес и черепаха». В первом случае наглядно показывается, что вся дорога (предположим, длины 1) является суммой бесконечного числа отрезков 1/2, 1/4, 1/8 и т. д. Так оно, конечно, и есть с точки зрения представлений о конечной сумме бесконечной геометрической прогрессии. И все же – как такое может быть?

Рис. 2. Прогрессия с коэффициентом 1/2

В апории про Ахиллеса ситуация чуть более сложная, т. к. здесь знаменатель прогрессии равен не 1/2, а какому-то другому числу. Пусть, например, Ахиллес бежит со скоростью v, черепаха движется со скоростью u, а первоначальное расстояние между ними равно l. Это расстояние Ахиллес пробежит за время l/v, черепаха за это время сдвинется на расстояние lu/v. Когда Ахиллес пробежит и этот отрезок, дистанция между ним и черепахой станет равной l (u/v)2, и т. д. Получается, что догнать черепаху – значит найти сумму бесконечно убывающей геометрической прогрессии с первым членом l и знаменателем u/v. Эта сумма – отрезок, который в итоге пробежит Ахиллес до места встречи с черепахой – равен l / (1 – u/v) = lv / (v – u). Но, опять-таки, как надо интерпретировать этот результат и почему он вообще имеет какой-то смысл, долгое время было не очень ясно.

Рис. 3. Геометрическая прогрессия с коэффициентом 2/3

Сумму геометрической прогрессии использовал Архимед при определении площади сегмента параболы. Пусть данный сегмент параболы отграничен хордой AB и пусть в точке D параболы касательная параллельна AB. Пусть C – середина AB, E – середина AC, F – середина CB. Проведем прямые, параллельные DC, через точки AEFB; пусть касательную, проведенную в точке D, эти прямые пересекают в точках KLMN. Проведем также отрезки AD и DB. Пусть прямая EL пересекает прямую AD в точке G, а параболу в точке H; прямая FM пересекает прямую DB в точке Q, а параболу в точке R. Согласно общей теории конических сечений, DC – диаметр параболы (то есть отрезок, параллельный ее оси); он и касательная в точке D могут служить осями координат x и y, в которых уравнение параболы записывается как y2 = 2px (x – расстояние от D до какой-либо точки данного диаметра, y – длина параллельного данной касательной отрезка от этой точки диаметра до некоторой точки на самой параболе).

Рис. 4. Определение площади сегмента параболы

В силу уравнения параболы, DL2 = 2 ∙ p ∙ LH, DK2 = 2 ∙ p ∙ KA, а поскольку DK = 2DL, то KA = 4LH. Т. к. KA = 2LGLH = HG. Площадь сегмента ADB параболы равна площади треугольника ΔADB и площадям сегментов AHD и DRB, вместе взятых. В свою очередь, площадь сегмента AHD аналогичным образом равна площади треугольника AHD и оставшихся сегментов AH и HD, с каждым из которых можно провести ту же операцию – разбить на треугольник (Δ) и два оставшихся сегмента (), и т. д.:

ADB = ΔADB + AHD + DRB = ΔADB + ΔAHD + ΔDRB + AH + HD + DR + RB = ...

Поскольку площадь сегмента ADB меньше, чем площадь параллелограмма AKNB, а площадь треугольника ΔADB равна половине площади параллелограмма AKNB, площадь этого треугольника больше половины площади сегмента ADB. Значит, каждый раз, вырезая соответствующий треугольник из сегмента, мы уменьшаем площадь сегмента больше чем наполовину. Согласно Архимеду, из этого следует, что разность между площадью сегмента и суммарной площадью последовательно вырезанных из него треугольников может быть сделана сколь угодно малой.

Площадь треугольника ΔAHD равна половине площади треугольника ΔALD (у них общее основание AD, а высоты отличаются в 2 раза), которая, в свою очередь, равна половине площади треугольника ΔAKD, а значит, и половине площади треугольника ΔACD. Таким образом, площадь треугольника ΔAHD равна четверти площади треугольника ΔACD. Аналогично, площадь треугольника ΔDRB равна четверти площади треугольника ΔDFB. Итак, площади треугольников ΔAHD и ΔDRB, вместе взятые, равны четверти площади треугольника ΔADB. Повторение этой операции в применении к сегментам AHHDDR и RB выделит и из них треугольники, площадь которых, вместе взятых, будет в 4 раза меньше, чем площадь треугольников ΔAHD и ΔDRB, вместе взятых, а значит, в 16 раз меньше, чем площади треугольника ΔADB. И так далее:

ADB = ΔADB + (1/4) ∙ ΔADB + (1/16) ∙ ΔADB + (1/64) ∙ ΔADB + ...,

т. е. площадь треугольника ΔADB, умноженная на сумму геометрической прогрессии:

1 + 1/4 + 1/16 + 1/64 + ... = 1 / (1 – 1/4) = 1 / (3/4) = 4/3.

Таким образом, Архимед доказал, что «всякий сегмент, заключенный между прямой и параболой, составляет четыре трети треугольника, имеющего с ним одно и то же основание и равную высоту».