АЛГОРИТМ – система правил, сформулированная на понятном исполнителю языке, которая определяет процесс перехода от допустимых исходных данных к некоторому результату и обладает свойствами массовости, конечности, определенности, детерминированности.

Слово «алгоритм» происходит от имени великого среднеазиатского ученого 8–9 вв. Аль-Хорезми (Хорезм – историческая область на территории современного Узбекистана). Из математических работ Аль-Хорезми до нас дошли только две – алгебраическая (от названия этой книги родилось слово алгебра) и арифметическая. Вторая книга долгое время считалась потерянной, но в 1857 в библиотеке Кембриджского университета был найден ее перевод на латинский язык. В ней описаны четыре правила арифметических действий, практически те же, что используются и сейчас. Первые строки этой книги были переведены так: «Сказал Алгоритми. Воздадим должную хвалу Богу, нашему вождю и защитнику». Так имя Аль-Хорезми перешло в Алгоритми, откуда и появилось слово алгоритм. Термин алгоритм употреблялся для обозначения четырех арифметических операций, именно в таком значении он и вошел в некоторые европейские языки. Например, в авторитетном словаре английского языка Webster's New World Dictionary, изданном в 1957, слово алгоритм снабжено пометкой «устаревшее» и объясняется как выполнение арифметических действий с помощью арабских цифр.

Слово «алгоритм» вновь стало употребительным с появлением электронных вычислительных машин для обозначения совокупности действий, составляющих некоторый процесс. Здесь подразумевается не только процесс решения некоторой математической задачи, но и кулинарный рецепт и инструкция по использованию стиральной машины, и многие другие последовательные правила, не имеющие отношения к математике, – все эти правила являются алгоритмами. Слово «алгоритм» в наши дни известно каждому, оно настолько уверенно шагнуло в разговорную речь, что сейчас нередко на страницах газет, в выступлениях политиков встречаются выражения «алгоритм поведения», «алгоритм успеха» и т.д.

Проблема определения понятия «алгоритм». На протяжении многих веков понятие алгоритма связывалось с числами и относительно простыми действиями над ними, да и сама математика была, по большей части, наукой о вычислениях, наукой прикладной. Чаще всего алгоритмы представлялись в виде математических формул. Порядок элементарных шагов алгоритма задавался расстановкой скобок, а сами шаги заключались в выполнении арифметических операций и операций отношения (проверки равенства, неравенства и т.д.). Часто вычисления были громоздкими, а вычисления вручную – трудоемкими, но суть самого вычислительного процесса оставалась очевидной. У математиков не возникала потребность в осознании и строгом определении понятия алгоритма, в его обобщении. Но с развитием математики появлялись новые объекты, которыми приходилось оперировать: векторы, графы, матрицы, множества и др. Как определить для них однозначность или как установить конечность алгоритма, какие шаги считать элементарными? В 1920-х задача точного определения понятия алгоритма стала одной из центральных проблем математики. В то время существовало две точки зрения на математические проблемы:

Все проблемы алгоритмически разрешимы, но для некоторых алгоритм еще не найден, поскольку еще не развиты соответствующие разделы математики.

Есть проблемы, для которых алгоритм вообще не может существовать.

Идея о существовании алгоритмически неразрешимых проблем оказалась верной, но для того, чтобы ее обосновать, необходимо было дать точное определение алгоритма. Попытки выработать такое определение привели к возникновению теории алгоритмов, в которую вошли труды многих известных математиков – К.Гедель, К.Черч, С.Клини, А.Тьюринг, Э.Пост, А.Марков, А.Колмогоров и многие другие.

Точное определение понятия алгоритма дало возможность доказать алгоритмическую неразрешимость многих математических проблем.

Появление первых проектов вычислительных машин стимулировало исследование возможностей практического применения алгоритмов, использование которых, ввиду их трудоемкости, было ранее недоступно. Дальнейший процесс развития вычислительной техники определил развитие теоретических и прикладных аспектов изучения алгоритмов.

Понятие «алгоритма». В повседневной жизни каждый человек сталкивается с необходимостью решения задач самой разной сложности. Некоторые из них трудны и требуют длительных размышлений для поиска решений (а иногда его так и не удается найти), другие же, напротив, столь просты и привычны, что решаются автоматически. При этом выполнение даже самой простой задачи осуществляется в несколько последовательных этапов (шагов). В виде последовательности шагов можно описать процесс решения многих задач, известных из школьного курса математики: приведение дробей к общему знаменателю, решение системы линейных уравнений путем последовательного исключения неизвестных, построение треугольника по трем сторонам с помощью циркуля и линейки и т.д. Такая последовательность шагов в решении задачи называется алгоритмом. Каждое отдельное действие – это шаг алгоритма. Последовательность шагов алгоритма строго фиксирована, т.е. шаги должны быть упорядоченными. Правда, существуют параллельные алгоритмы, для которых это требование не соблюдается.

Понятие алгоритма близко к другим понятиям, таким, как метод (метод Гаусса решения систем линейных уравнений), способ (способ построения треугольника по трем сторонам с помощью циркуля и линейки). Можно сформулировать основные особенности именно алгоритмов.

Наличие исходных данных и некоторого результата. Алгоритм – это точно определенная инструкция, последовательно применяя которую к исходным данным, можно получить решение задачи. Для каждого алгоритма есть некоторое множество объектов, допустимых в качестве исходных данных. Например, в алгоритме деления вещественных чисел делимое может быть любым, а делитель не может быть равен нулю.

Массовость, т.е. возможность применять многократно один и тот же алгоритм. Алгоритм служит, как правило, для решения не одной конкретной задачи, а некоторого класса задач. Так алгоритм сложения применим к любой паре натуральных чисел.

Детерминированность. При применении алгоритма к одним и тем же исходным данным должен получаться всегда один и тот же результат, поэтому, например, процесс преобразования информации, в котором участвует бросание монеты, не является детерминированным и не может быть назван алгоритмом.

Результативность. Выполнение алгоритма должно обязательно приводить к его завершению. В то же время можно привести примеры формально бесконечных алгоритмов, широко применяемых на практике. Например, алгоритм работы системы сбора метеорологических данных состоит в непрерывном повторении последовательности действий («измерить температуру воздуха», «определить атмосферное давление»), выполняемых с определенной частотой (через минуту, час) во все время существования данной системы.

Определенность. На каждом шаге алгоритма у исполнителя должно быть достаточно информации, чтобы его выполнить. Кроме того, исполнителю нужно четко знать, каким образом он выполняется. Шаги инструкции должны быть достаточно простыми, элементарными, а исполнитель должен однозначно понимать смысл каждого шага последовательности действий, составляющих алгоритм (при вычислении площади прямоугольника любому исполнителю нужно уметь умножать и трактовать знак «x» именно как умножение). Поэтому вопрос о выборе формы представления алгоритма очень важен. Фактически речь идет о том, на каком языке записан алгоритм.

Формы представления алгоритмов. Для записи алгоритмов необходим некоторый язык, при этом очень важно, какой именно язык выбран. Записывать алгоритмы на русском языке (или любом другом естественном языке) громоздко и неудобно.

Например, описание алгоритма Евклида нахождения НОД (наибольшего общего делителя) двух целых положительных чисел может быть представлено в виде трех шагов. Шаг 1: Разделить m на n. Пусть p – остаток от деления.

Шаг 2: Если p равно нулю, то n и есть исходный НОД.

Шаг 3: Если p не равно нулю, то сделаем m равным n, а n равным p. Вернуться к шагу 1.

Приведенная здесь запись алгоритма нахождения НОД очень упрощенная. Запись, данная Евклидом, представляет собой страницу текста, причем последовательность действий существенно сложней.

Одним из распространенных способов записи алгоритмов является запись на языке блок-схем. Запись представляет собой набор элементов (блоков), соединенных стрелками. Каждый элемент – это «шаг» алгоритма. Элементы блок-схемы делятся на два вида. Элементы, содержащие инструкцию выполнения какого-либо действия, обозначают прямоугольниками, а элементы, содержащие проверку условия – ромбами. Из прямоугольников всегда выходит только одна стрелка (входить может несколько), а из ромбов – две (одна из них помечается словом «да», другая – словом «нет», они показывают, соответственно, выполнено или нет проверяемое условие).

На рисунке представлена блок-схема алгоритма нахождения НОД:

Построение блок-схем из элементов всего лишь нескольких типов дает возможность преобразовать их в компьютерные программы и позволяет формализовать этот процесс.

Формализация понятия алгоритмов. Теория алгоритмов. Приведенное определение алгоритма нельзя считать представленным в привычном математическом смысле. Математические определения фигур, чисел, уравнений, неравенств и многих других объектов очень четки. Каждый математически определенный объект можно сравнить с другим объектом, соответствующим тому же определению. Например, прямоугольник можно сравнить с другим прямоугольником по площади или по длине периметра. Возможность сравнения математически определенных объектов – важный момент математического изучения этих объектов. Данное определение алгоритма не позволяет сравнивать какие-либо две таким образом определенные инструкции. Можно, например, сравнить два алгоритма решения системы уравнений и выбрать более подходящий в данном случае, но невозможно сравнить алгоритм перехода через улицу с алгоритмом извлечения квадратного корня. С этой целью нужно формализовать понятие алгоритма, т.е. отвлечься от существа решаемой данным алгоритмом задачи, и выделить свойства различных алгоритмов, привлекая к рассмотрению только его форму записи. Задача нахождения единообразной формы записи алгоритмов, решающих различные задачи, является одной из основных задач теории алгоритмов. В теории алгоритмов предполагается, что каждый шаг алгоритма таков, что его может выполнить достаточно простое устройство (машина), Желательно, чтобы это устройство было универсальным, т.е. чтобы на нем можно было выполнять любой алгоритм. Механизм работы машины должен быть максимально простым по логической структуре, но настолько точным, чтобы эта структура могла служить предметом математического исследования. Впервые это было сделано американским математиком Эмилем Постом в 1936 (машина Поста) еще до создания современных вычислительных машин и (практически одновременно) английским математиком Аланом Тьюрингом (машина Тьюринга).

История конечных автоматов: машина Поста и машина Тьюринга. Машина Поста – абстрактная вычислительная машина, предложенная Постом (Emil L.Post), которая отличается от машины Тьюринга большей простотой. Обе машины «эквивалентны» и были созданы для уточнения понятия «алгоритм».

В 1935 американский математик Пост опубликовал в «Журнале символической логики» статью Финитные комбинаторные процессы, формулировка 1. В этой статье и появившейся одновременно в Трудах Лондонского математического общества статье английского математика Тьюринга О вычислимых числах с приложением к проблеме решения были даны первые уточнения понятия «алгоритм». Важность идей Поста состоит в том, что был предложен простейший способ преобразования информации, именно он построил алгоритмическую систему (алгоритмическая система Поста). Пост доказал, что его система обладает алгоритмической полнотой. В 1967 профессор В.Успенский пересказал эти статьи с новых позиций. Он ввел термин «машина Поста». Машина Поста – абстрактная машина, которая работает по алгоритмам, разработанным человеком, она решает следующую проблему: если для решения задачи можно построить машину Поста, то она алгоритмически разрешима. В 1970 машина Поста была разработана в металле в Симферопольском университете. Машина Тьюринга была построена в металле в 1973 в Малой Крымской Академии Наук.

Абстрактная машина Поста представляет собой бесконечную ленту, разделенную на одинаковые клетки, каждая из которых может быть либо пустой, либо заполненной меткой «V». У машины есть головка, которая может перемещаться вдоль ленты на одну клетку вправо или влево, наносить в клетку ленты метку, если этой метки там ранее не было, стирать метку, если она была, либо проверять наличие в клетке метки. Информация о заполненных метками клетках ленты характеризует состояние ленты, которое может меняться в процессе работы машины. В каждый момент времени головка находится над одной из клеток ленты и, как говорят, обозревает ее. Информация о местоположения головки вместе с состоянием ленты характеризует состояние машины Поста. Работа машины Поста заключается в том, что головка передвигается вдоль ленты (на одну клетку за один шаг) влево или вправо, наносит или стирает метки, а также распознает, есть ли метка в клетке в соответствии с заданной программой, состоящей из отдельных команд.

Машина Тьюринга состоит из счетной ленты (разделенной на ячейки и ограниченной слева, но не справа), читающей и пишущей головки, лентопротяжного механизма и операционного исполнительного устройства, которое может находиться в одном из дискретных состояний q0, q1, …, qs , принадлежащих некоторой конечной совокупности (алфавиту внутренних состояний), при этом q0 называется начальным состоянием. Читающая и пишущая головка может читать буквы рабочего алфавита A = {a0, a1, …, at }, стирать их и печатать. Каждая ячейка ленты в каждый момент времени занята буквой из множества А. Чаще всего встречается буква а0 – «пробел». Головка находится в каждый момент времени над некоторой ячейкой ленты – текущей рабочей ячейкой. Лентопротяжный механизм может перемещать ленту так, что головка оказывается над соседней ячейкой ленты, при этом возможна ситуация выхода за левый край ленты, которая является аварийной (недопустимой), или машинного останова, когда машина выполняет предписание об остановке.

Современный взгляд на алгоритмизацию. Теория алгоритмов строит и изучает конкретные модели алгоритмов. С развитием вычислительной техники и теории программирования возрастает необходимость построения новых экономичных алгоритмов, изменяются способы их построения, способы записи алгоритмов на языке, понятном исполнителю. Особый тип исполнителя алгоритмов – компьютер, поэтому необходимо создавать специальные средства, позволяющие, с одной стороны, разработчику в удобном виде записывать алгоритмы, а с другой – дающие компьютеру возможность понимать написанное. Такими средствами являются языки программирования или алгоритмические языки.

Анна Чугайнова

ЛИТЕРАТУРА

Тьюринг А. Может ли машина мыслить? М., Мир, 1960
Успенский В. Машина Поста. Наука, 1988
Кормен Т., Лейзерсон, Ривес Р. Алгоритмы. Построение и анализ. М., МЦНМО, 1999