Скрыть решение
Решение
Будем для краткости называть игроков,
занявших последние три места, `` плохими"", а всех
остальных — `` хорошими"".
Плохие игроки сыграли между собой, как нетрудно видеть, три
партии, и в этих партиях было набрано в общей сложности три очка.
По условию, это — половина всех очков, набранных плохими
игроками; значит, в играх с хорошими плохие игроки набрали ещё 3
очка. Но всего между плохими и хорошими игроками было сыграно
(
n - 3)
. 3 партий и разыграно столько же очков (
n — общее
число игроков). Из них 3 очка взяли плохие игроки, а остальные
очки взяли хорошие. Следовательно, в партиях с плохими игроками
хорошие игроки завоевали
(
n - 3)
. 3 - 3 очка, и, значит, столько
же очков хорошие игроки набрали (в общей сложности) в играх друг
с другом.
Как легко видеть, между хорошими игроками было проведено
партий и разыграно столько
же очков. Следовательно,
= (
n - 3)
. 3 - 3,
откуда получаем два решения:
n = 4,
n = 9.
Ясно, между тем, что
вариант
n = 4 должен быть исключён, так как в этом случае
единственный хороший игрок набрал
все свои очки во
встречах с тремя остальными участниками. Остаётся одно решение:
n = 9. Однако этим задача ещё не решена, так как ещё неясно,
годится ли это значение
n. Для того чтобы убедиться в этом,
нужно показать, что возможно такое распределение очков в турнире
между девятью участниками, при котором выполняются требования,
указанные в условии задачи. Пример турнирной таблицы,
показывающей, что такое распределение очков возможно, приведен
ниже (см. рис. 42).
(Решение из книги [#!Leman!#].)