Скрыть решение
Решение
Покажем сначала, что синие билеты с номерами 908919 и 909909 — соседние.
Допустим, что нашёлся синий билет с номером
908919 <
X =
< 909909. Тогда
a = 9,
b = 0. Рассмотрим сначала случай
c = 8. Тогда
d = 9 и
e
1, а значит,
a +
c +
e
18. Так как билет синий,
то
f =
b +
d +
f -
b -
d =
a +
c +
e - 0 - 9
9. Поскольку
f — цифра,
f = 9,
т. е.
X = 908919, что противоречит предположению. Теперь рассмотрим
случай
c = 9. В этом случае
a +
c +
e
a +
c = 18. Дальнейшее полностью повторяет
рассуждение для предыдущего случая.
Теперь докажем, что разность между номерами
X <
Y двух соседних синих билетов
не может больше, чем 990. Предположим, что
Y -
X > 990. Заметим сначала, что
числа
X и
Y делятся на 11, а значит, их разность также делится на 11.
Следовательно,
Y -
X
1001. С другой стороны, все билеты с номерами
вида
— синие, а разность между соседними числами такого
вида равна 1001. Следовательно,
Y -
X = 1001,
X =
.
Рассмотрим случай
a
8. Если
c
1, то между билетами
X и
Y
найдётся синий билет
. Если
b
1,
то билет
X <
<
Y синий. Остался случай
b =
c = 0.
Но в этом случае билет
X <
<
Y синий. Итак, при
a
8
билеты
X =
и
X + 1001 не могут быть соседними синими.
Рассмотрим теперь случай
a = 9. Если
b
8, то между
X и
Y найдётся
синий билет с номером
. Если же
b = 9,
то между
X =
и
Y =
найдётся синий
билет с номером
.
Ответ
990.