Скрыть решение
Решение
Если основания цилиндра лежат на гранях куба, то направление оси цилиндра будет
неизменным при всех его перемещениях внутри куба. Поместим теперь в куб два
цилиндра так, чтобы их оси были параллельны двум перпендикулярным рёбрам куба.
Радиусы цилиндров равны
a/4, поэтому расстояние между их осями не может быть
меньше
a/2. С другой стороны, они расположены внутри полосы толщиной
a
между двумя параллельными плоскостями. Поэтому расстояние между осями не может
быть больше
a/2. Следовательно, ось каждого цилиндра может перемещаться лишь
в направлении оси другого цилиндра. Переместим эти два цилиндра так, чтобы они
касались куба боковыми поверхностями, и в образовавшийся зазор вставим третий
цилиндр, ось которого перпендикулярна осям двух первых цилиндров. Новый цилиндр
не сможет перемещаться, поскольку первый цилиндр позволяет двигаться его оси
только в одном направлении, а второй цилиндр — только в перпендикулярном
направлении. Аналогично доказывается, что первые два цилиндра теперь тоже не
смогут перемещаться.
и
высоты a так, чтобы они не могли менять своего положения внутри куба.