Скрыть решение
Решение
Пусть
O — центр симметрии многоугольника
M, расположенного внутри
треугольника
T,
S(
T) — образ треугольника
T при симметрии относительно
точки
O. Тогда
M лежит и в
T, и в
S(
T). Поэтому среди всех центрально
симметричных многоугольников с данным центром симметрии, лежащих в
T,
наибольшую площадь имеет пересечение
T и
S(
T). Точка
O лежит внутри
треугольника
T, так как пересечением
T и
S(
T) является выпуклый
многоугольник, а выпуклый многоугольник всегда содержит свой центр симметрии.
Пусть
A1,
B1 и
C1 — середины сторон
BC,
CA и
AB треугольника
T =
ABC. Предположим сначала, что точка
O лежит внутри треугольника
A1B1C1. Тогда пересечением
T и
S(
T) является шестиугольник. Пусть
сторона
AB делится сторонами треугольника
S(
T) в отношении
x :
y :
z, где
x +
y +
z = 1. Тогда отношение суммы площадей треугольников, прилегающих к вершинам
A,
B,
C, к площади треугольника
ABC равно
x2 +
y2 +
z2; нужно
минимизировать это выражение. Так как
1 = (
x +
y +
z)
2 = 3(
x2 +
y2 +
z2) - (
x -
y)
2 - (
y -
z)
2 - (
z -
x)
2, то
x2 +
y2 +
z2
1/3,
причем равенство достигается только при
x =
y =
z; последнее равенство означает,
что
O — точка пересечения медиан треугольника
ABC.
Рассмотрим теперь другой случай: точка
O лежит внутри одного из треугольников
AB1C1,
ABC1,
A1B1C, например внутри
AB1C1. В этом случае
пересечением
T и
S(
T) является параллелограмм, причем если мы заменим точку
O точкой пересечения прямых
AO и
B1C1, то площадь этого параллелограмма
может только увеличиться. Если же точка
O лежит на стороне
B1C1, то этот
случай уже фактически был нами рассмотрен (нужно положить
x = 0).
Искомым многоугольником является шестиугольник с вершинами в точках, делящих
стороны треугольника на три равные части. Его площадь равна 2/3 площади
треугольника.