---

Показать решение

---

Скрыть решение

Решение

Пусть O — центр симметрии многоугольника M, расположенного внутри треугольника T, S(T) — образ треугольника T при симметрии относительно точки O. Тогда M лежит и в T, и в S(T). Поэтому среди всех центрально симметричных многоугольников с данным центром симметрии, лежащих в T, наибольшую площадь имеет пересечение T и S(T). Точка O лежит внутри треугольника T, так как пересечением T и S(T) является выпуклый многоугольник, а выпуклый многоугольник всегда содержит свой центр симметрии. Пусть A₁, B₁ и C₁ — середины сторон BC, CA и AB треугольника T = ABC. Предположим сначала, что точка O лежит внутри треугольника A₁B₁C₁. Тогда пересечением T и S(T) является шестиугольник. Пусть сторона AB делится сторонами треугольника S(T) в отношении x : y : z, где x + y + z = 1. Тогда отношение суммы площадей треугольников, прилегающих к вершинам A, B, C, к площади треугольника ABC равно x² + y² + z²; нужно минимизировать это выражение. Так как 1 = (x + y + z)² = 3(x² + y² + z²) - (x - y)² - (y - z)² - (z - x)², то x² + y² + z²1/3, причем равенство достигается только при x = y = z; последнее равенство означает, что O — точка пересечения медиан треугольника ABC. Рассмотрим теперь другой случай: точка O лежит внутри одного из треугольников AB₁C₁, ABC₁, A₁B₁C, например внутри AB₁C₁. В этом случае пересечением T и S(T) является параллелограмм, причем если мы заменим точку O точкой пересечения прямых AO и B₁C₁, то площадь этого параллелограмма может только увеличиться. Если же точка O лежит на стороне B₁C₁, то этот случай уже фактически был нами рассмотрен (нужно положить x = 0). Искомым многоугольником является шестиугольник с вершинами в точках, делящих стороны треугольника на три равные части. Его площадь равна 2/3 площади треугольника.