Скрыть решение
Решение
Ответ: x =
y =
z =
v = 0.
Число
x2 +
y2 +
z2 +
v2 чётно, поэтому среди чисел
x,
y,
z,
v чётное число
нечётных чисел.
Если все числа
x,
y,
z,
v нечётны, то
x2 +
y2 +
z2 +
v2 
0(mod 4), но при
этом 2
xyzv не делится на 4.
Если ровно два из чисел
x,
y,
z,
v нечётны, то
x2 +
y2 +
z2 +
v2 не делится на
4, а 2
xyzv делится на 4.
Поэтому все числа
x,
y,
z,
v чётны, т.е.
x = 2
x1,
y = 2
y1,
z = 2
z1,
v = 2
v1.
Мы получаем уравнение
x12 +
y12 +
z12 +
v12 = 8
x1y1z1v1. Теперь заметим,
что
(2
k + 1)
2 = 4
k(
k + 1) + 1
1(mod 8). Поэтому если все числа
x1,
y1,
z1,
v1 нечётны, то
x12 +
y12 +
z12 +
v12 не делится на 8. А если
ровно два из этих чисел нечётно, то
x12 +
y12 +
z12 +
v12 не делится даже
на 4. Значит,
x1 = 2
x2,
y1 = 2
y2,
z1 = 2
z2,
v1 = 2
v2, и мы получаем
уравнение
x22 +
y22 +
z22 +
v22 = 32
x2y2z2v2. Снова повторив те же самые
рассуждения, получим, что
x,
y,
z,
v делятся на 2
n при всех
n, чего не
может быть.