Скрыть решение
Решение
Положим на чашечки весов по одному кубику. Возможны два случая.
При первом взвешивании один из кубиков оказался тяжелее.
В этом случае один выбранный кубик алюминиевый, а другой дюралевый. Положим
выбранные кубики на одну чашечку и будем с ними сравнивать остальные кубики. А
именно, оставшиеся 18 кубиков разбиваем на 9 пар и поочерёдно кладём их на
другую чашечку. Каждый раз мы узнаём, сколько в паре дюралевых кубиков.
Действительно, если эталонная пара легче, то мы положили два дюралевых кубика;
если эталонная пара имеет тот же самый вес, то мы положили один алюминиевый и
один дюралевый кубик; если эталонная пара тяжелее, то мы положили два
алюминиевых кубика. Таким образом, в первом случае достаточно 10 взвешиваний.
При первом взвешивании кубики оказались равного веса.
В этом случае либо оба выбранных кубика алюминиевые, либо оба дюралевые. Положим
выбранные кубики на одну чашечку и будем последовательно с ними сравнивать
остальные кубики. Пусть первые k пар оказались того же самого веса, а
(k + 1)-я пара оказалась другого веса. (Если k = 9, то все кубики одного веса,
поэтому дюралевых кубиков нет.) Пусть для определённости (k + 1)-я пара
оказалась более тяжёлой. Тогда первые два кубика и кубики первых k пар
алюминиевые. Положим на каждую чашку весов по одному кубику (k + 1)-й пары.
Если эти кубики одного веса, то они оба дюралевые. Если кубики разного веса,
то один алюминиевый, а другой дюралевый. В обоих случаях мы можем составить
пару кубиков, один из которых алюминиевый, а другой дюралевый. Оставшиеся
пары кубиков мы можем сравнивать с этой парой, как и в первом случае. Общее
число взвешиваний во втором случае равно 11.