Скрыть решение
Решение
Ответ: на
+
+ 1 частей.
Будем поочерёдно проводить диагонали. Когда мы проводим новую диагональ, число
частей, на которые проведённые ранее диагонали делят многоугольник,
увеличивается на
m + 1, где
m — число точек пересечения новой диагонали с
ранее проведёнными, т.е. каждая новая диагональ и каждая новая точка
пересечения диагоналей увеличивают число частей на 1. Поэтому общее число
частей, на которые диагонали делят
n-угольник, равно
D +
P + 1, где
D —
число диагоналей,
P — число точек пересечения диагоналей. Ясно, что
D =
. Остаётся вычислить
P. Любой точке пересечения
диагоналей соответствуют две диагонали, концы которых задают четыре вершины
n-угольника. Наоборот, четыре вершины
n-угольника определяют одну точку
пересечения диагоналей. Поэтому
P равно количеству способов выбора четырёх
точек из
n, т.е.
P =
.