Задачи на расположение корней квадратного уравнения

 

Квадратичная функция  часто встречается в различных, в том числе и конкурсных задачах с параметрами. Это обусловлено рядом свойств данной функции, позволяющих, помимо прочего, сочетать аналитический и графический методы исследования. Как известно, графиком квадратичной функции является парабола. Изображая серию парабол на координатной плоскости можно быстро, а главное наглядно найти те из них, которые удовлетворяют условиям задачи. Параболы, удовлетворяющие условиям задачи, будем называть верными, а все остальные параболы – неверными.

         Пусть квадратичная функция имеет вид , где  - выражения, зависящие от параметра  или числа, причем . Кроме того, через  обозначим абсциссу вершины  параболы. Соответствующее квадратное уравнение будет следующим

.                                       (1)

 Корни этого уравнения обозначим через  и  (), а дискриминант .

Прежде всего, отметим одно из свойств квадратичной функции, которое в дальнейших рассуждениях имеет принципиальное значение: выражение  на промежутках знакопостоянства функции   сохраняет знак. 

Теперь, используя указанное свойство квадратичной функции, воспользуемся графическим методом. Для этого изобразим на координатной плоскости параболы, соответствующие шести типичным случаям (рис. 1)

 

Рис. 1

 

 

Из рисунка ясно, что известную теорему о знаке квадратичной функции можно сформулировать следующим образом:

1.                          Если , то уравнение (1)  не имеет корней и знак  при всех  совпадает со знаком , т.е.  (параболы 1 и 4);

2.                          Если , то уравнение (1) имеет один корень  (два равных корня) и знак  при всех  кроме  совпадает со знаком , т.е.  (параболы 2 и 5);

3.                          Если , то уравнение (1) имеет два различных корня   и знак  при всех  противоположен знаку , а при всех  совпадает со знаком , т.е.    (параболы 3 и 6).

 

Рассмотрим несколько вариантов  расположения корней квадратного уравнения (1) на координатной оси.

1.  Для того, чтобы оба корня квадратного уравнения (1) были меньше числа  (), необходимо и достаточно выполнение условий

                       (2)

Начнем рассмотрение данной задачи с графической интерпретации условий  . Для этого нанесем на координатную плоскость ряд парабол (рис. 2).  Причем верные параболы обозначим сплошными линиями, а неверные – штриховыми линиями. В этой  и других подобных задачах нет необходимости изображать параболы с ветвями вниз (парабола 2), т.к. теорема о знаке квадратичной функции и ее следствие – система неравенств (2), –  учитывают оба случая:    и .

Замечание.  Если  в условии задачи не оговаривается, что корни  уравнения должны быть различными, то верной параболой будет и парабола 3, соответствующая случаю равных корней.  Здесь  неравенство , обеспечивающее существование корней уравнения, является необходимым условием.

 Следующий важный шаг решения – это анализ выражения   в характерной точке (условие ). Допустим, что на координатной плоскости нанесена неверная парабола, например, парабола 4 на рис. 2. Очевидно, что такое расположение параболы соответствует условиям  и . Таким образом, условия  и  являются необходимыми, но не достаточными для решения задачи. Для того, чтобы исключить из рассмотрения неверные параболы (парабола 4), следует воспользоваться условием  системы неравенств (2). Это условие определяет расположение абсциссы вершины параболы   в координатной плоскости.

Рис.2

 
 

Из рис. 2 видно, что абсцисса вершины параболы 4 находится правее точки  (), т.е. условие   не выполняется.

Парабола 5 на рис. 2 исключается из рассмотрения, т.к. она соответствует условиям   и , но не соответствует условию .

Если же теперь вновь вернуться к системе неравенств (2), то становиться очевидным, что неравенства  и   в данной задаче равносильны условию, что либо оба корня одновременно либо меньше числа  , либо оба корня больше числа  . Этот вывод позволяет нам сформулировать, а затем и записать общее решение близкой по сути задачи:

 Для того, чтобы оба корня квадратного уравнения (1) были больше числа  (), необходимо и достаточно выполнения условий

                   (3)

 

Понятно, что снова можно сделать соответствующий рисунок с параболами (мы вам настоятельно рекомендуем этосделать).

В частном случае, при  , используя теорему Виета, систему (2) можно заменить системой (4),

                         (4)

а система (3) - системой (5):

 

                         (5)

Задачи, содержащие в своей формулировке условия вида: оба корня отрицательны (оба корня положительны) целесообразно решать с помощью системы неравенств (4) или (5). По сути, это альтернативный способ решения подобных задач.

Кроме того, можно использовать еще один (третий) способ решения исходной задачи – способ замены переменной. Если обозначить , то задача сводится к решению системы вида (4) или (5) относительно новой  переменной .

Рассмотрим некоторые примеры и приведем их решения, полученные различными способами.

Пример 1. При каких значениях параметра  корни уравнения   больше 1? ССЫЛКА НА ЗАДАЧУ 14

Решение.

Первый способ.

Здесь , , , .

Возможны два случая.

I.                           Если , то уравнение приобретает вид , т.е.  и задача не имеет решений.

II.                        Если , то из (3) получим систему

 

   которая  в данной задаче имеет вид

Решением этой системы является . При записи окончательного ответа следует не забыть проверить условие  .

Ответ. .

Второй способ.

Сделаем замену , откуда получим . После подстановки в исходное уравнение получим уравнение . Переформулируем задачу следующим образом: найти такие , при которых корни последнего уравнения существуют и положительны. Отметим, что при выполнении замены переменной очень важно правильно переформулировать исходную задачу.

На основании теоремы Виета составим следующую систему неравенств

         решение которой с учетом  дает прежний ответ.

                   Третий способ.

                   Этот способ решения задачи заключается в сопоставлении найденных корней квадратного уравнения с заданными числами  и . Сразу отметим, что этот способ решения задачи зачастую не самый рациональный. В нашем случае имеем

         Решение можно упростить, если .  Тогда достаточно потребовать, чтобы  При  получаем систему неравенств , решая которую можно получить уже известный ответ.

         Решение этой системы связано с большими трудностями, чем решение данной задачи двумя предыдущими способами. Это связано с тем, что указанная система включает в себя иррациональное неравенство. Однако в некоторых случая третий способ может быть более простым, чем два предыдущих способа. Этот случай соответствует ситуации, когда дискриминант уравнения является полным квадратом, а значит все неравенства рациональные.

 

2.  Для того, чтобы оба корня квадратного уравнения (1) находились в интервале  (), необходимо и достаточно выполнение условий

                               (6)

         Как и прежде, дадим геометрическую интерпретацию системы неравенств (6). Для этого нанесем на координатную плоскость ряд парабол, часть из которых является неверными параболами (на рис. 3 они изображены штриховыми линиями).  Из рис. 3 видно, что все параболы, кроме параболы 2, имеют точки пересечения с осью абсцисс, а значит, соответствующее квадратное уравнение имеет корни, т.е. выполняется условие  . Теперь рассмотрим выражение  в характерных точках  и , т.е. условия  и . Для исключения неверных парабол проверим выполнение условий системы неравенств (6).

Расположение параболы 2 не соответствует условию  и поэтому она исключается из рассмотрения. Парабола 5 является неверной параболой, т.к. для нее не выполняется условие  системы неравенств (6). Параболы 3 и 4 соответствуют условиям , и . Однако, как видно из рис. 3,  они являются неверными параболами. Для того, чтобы исключить их из рассмотрения, следует воспользоваться условием  системы неравенств (6). Это условие определяет расположение абсциссы вершины параболы   в координатной плоскости.  Абсциссы вершин парабол 3 и 4 расположены вне интервала .

 

         Пример 2.  Найти все  значения параметра , при которых  квадратный трехчлен  имеет действительные корни  и , такие, что .  ССЫЛКА НА ЗАДАЧУ 15

         Решение.

Эта задача равносильна рассмотренной выше, поэтому искомые значения  являются решениями следующей системы неравенств:

         Заметив, что условие  уже предусмотрено в системе (последнее неравенство системы). Решим систему и получим

Ответ:

 

3. Для того, чтобы число  находилось между корнями квадратного уравнения (1) (), необходимо и достаточно выполнение неравенства

                               (7)

Вновь воспользуемся изображением квадратичной функции на плоскости (рис. 4). Для того в выбранной системе координат изобразим несколько парабол, в том числе и верную параболу 1.  Простой проверкой выполнения условия (7) мы исключаем неверные параболы 2,3 и 4 .

Очевидно, что формулировка “для того, чтобы один корень был меньше числа , а второй больше этого числа ” равносильна приведенной выше.

Замечание. Заметим, что в системе (7) первое неравенство является избыточным условием, т.к. существование различных корней  здесь уже обеспечивается непрерывностью квадратичной функции .

Пример 3.  Определить все значения параметра  так, чтобы один из корней уравнения  был бы больше 3, а другой меньше 3.

Решение.

Здесь необходимо отметить, что  (область определения логарифмической функции). Для упрощения вычислений сделаем замену . Тогда исходное уравнение приобретает вид . Следуя (7), решаем неравенство

С учетом  получаем

Ответ.

4.  Для того, чтобы отрезок  лежал внутри интервала, необходимо и достаточно, чтобы

                                        (8)

         В необходимости и достаточности этих условий (8) несложно убедиться, обратившись к  рис. 5.

         Отметим, что, как и в предыдущем случае, условие в системе (8) является избыточным.

Пример 4.  Найти все значения параметра , при которых  корни  и  уравнения  удовлетворяют условию .

Решение.

Для решения этой задачи воспользуемся системой неравенств  (8)

Ответ.

Можно и далее рассматривать различные варианты расположения корней квадратного уравнения (1), но важно понять сам принцип их анализа и составления соответствующих систем неравенств. Рассмотрим несколько задач.

Пример 5. Найти все значения параметра , при которых любое значение , удовлетворяющее неравенству , по модулю не превосходит двух.

Первый способ.

При решении конкретных задач всегда лучше сначала изобразить  верные и неверные параболы, а затем уже записывать алгебраические условия.

Заметим, что если при решении квадратных уравнений важно рассматривать случаи  или , то при решении квадратных неравенств структура решения определяется условиями , , .

I. , т.е. , тогда   и это неравенство не удовлетворяет условию задачи

II. , т.е. , тогда имеем рис. 6 . Все варианты расположения парабол, приведенные на рис. 6, не удовлетворяют условию задачи, т.к. для любой из них найдутся значения  вне отрезка , где ветви парабол будут выше оси .

III. , т.е. .

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Анализ рис. 7 показывает, что нужно обратиться к системе неравенств (3). Кроме того, нужно иметь в виду, что в данной задаче рассматривается отрезок , а также то, что в условии задано строгое неравенство.

Для решения этой системы лучше воспользоваться обобщенным методом интервалов.

Ответ. .

Второй способ.

Заметить, что дискриминант представляет собой полный квадрат . Это значит, что непосредственное вычисление корней не будет представлять особых затруднений, т.к. в этом случае корни являются рациональными выражениями и имеют вид . В силу приведенных рассуждений рассмотрим только случай . После нахождения корней  перепишем исходное неравенство в  виде . По условию  , поэтому неравенство приобретает вид  , а значит  . Согласно условию задачи получим:

 

 


 

Таким образом,

т.е. получен прежний ответ.

Заметим, что в данной задаче второй способ решения оказался проще. Кроме того, эту задачу можно решить графическим методом, о котором подробнее будет рассказано далее.

 

Пример 6. Найти все значения параметра , при которых только один корень уравнения  удовлетворяет условию

Решение.

Из рис. 8 следует, что при  требование задачи выполняется, если:

1)     число 2 находится между корнями уравнения;

или

2)     число 2 совпадает с большим корнем уравнения.

 В первом случае задача сводится к составлению системы неравенств (3), причем достаточно потребовать, чтобы . Второй случай описывается системой

         Решая совокупность  получим .

При  требование задачи выполняется, если   (рис. 9).       

 

 

 

 

 

 

 

Решая систему , получим .

Объединяя решения, получаем ответ задачи.

Ответ.

Пример 7. При каких значениях  всякое решение неравенства  больше любого решения неравенства ?

Решение. 

Решив первое неравенство, получим  По условию задачи все числа этого интервала должны быть больше всех чисел, входящих во множество решений второго неравенства.

I.                                Если , то второе неравенство приобретает вид  Следовательно,  не подходит.

 

 

 

 

 

II.                             Если  , то из рис. 10 ясно, что решением второго неравенства будет неограниченное множество чисел, т.е. условие  также не подходит.

 

 

 

 

 

 

 

 

III.                          Если , то для решения задачи составим систему   (см. рис. 11). Решая эту систему, получим ответ задачи.

Ответ. Таких  не существует.

Пример 8.  При каких значениях  уравнение  имеет хотя бы один положительный корень?

Решение.

Уточним формулировку задачи. Если один корень положителен, то другой может быть отрицательным,  равным нулю  или тоже положительным.

I.                   Один корень положителен, а другой отрицательный.  Рис. 12  позволяет понять, что для решения этой задачи следует использовать систему (3) (=0). Таким образом,  , откуда .

 

 

 

 

 

 

 

II.                Один корень положителен, а второй равен нулю. Рис.13 дает возможность записать для этого случая систему и решить ее:

 

 

 

 

 

 

 

III.             Оба корня положительны. Здесь есть возможность использовать систему (2) или теорему Виета. Решим задачу с использованием теоремы Виета.

Объединяя все три случая, приходим к окончательному ответу.

Ответ.

Пример 9. При каких значениях параметра  уравнение  имеет корни разных знаков, удовлетворяющие условию ?

Решение.

Рассмотрим “верные” и  “неверные” параболы на рис. 14.

Имеем

Ответ. .

 

Задачи для самостоятельного решения

 

1. При каких значениях параметра  неравенство  верно при всех , удовлетворяющих условию

Ответ.

2. Найти все значения параметра , при которых оба корня уравнения  будут меньше 1.

Ответ.

3. При каких значениях параметра  все корни уравнения  удовлетворяют условию

Ответ.

4. При каких значениях параметра  каждое решение неравенства  содержится среди решений неравенства

Ответ.

5. При каких значениях параметра  всякое решение неравенства  будет одновременно решением неравенства

Ответ.

6. При каких действительных значениях параметра  все решения неравенства  положительны и меньше 2?

Ответ.

7. При каких значениях параметра  система неравенств

имеет решение?

Ответ.

8. Определите все значения параметра  так, чтобы один из корней уравнения  был меньше 0, а другой – больше 1.

Ответ.

9. Пусть уравнение  имеет корни , . Найти все значения параметра , такие, что  и  удовлетворяют условию

Ответ.

10. Найти все значения , при которых больший корень уравнения  больше 100.

Ответ.

11. Найти все значения параметра , при которых все корни уравнения  больше

Ответ.

12. Найти все значения параметра , при которых множество решений неравенства  принадлежит множеству решений неравенства

Ответ.

13. Найти все значения параметра , при которых неравенство  имеет своим следствием неравенство .

Ответ.

14. Найти все значения параметра , при которых множество решений неравенства  является подмножеством множества решений неравенства

Ответ.

 

 

Представленные примеры содержатся на электронном диске в виде интерактивных информационных источников. Всего 15 примеров источников, из них 2 – репетиторы, 13 – интерактивные микротесты и демонстрации.