Решение
Случай n = 2 тривиален, так что будем считать, что n
3.
Укажем расположение точек, при котором будет ровно n попарно непараллельных прямых, - это набор вершин правильного n-угольника. Докажем, что непараллельных прямых столько же, сколько осей симметрии.
Поставим в соответствие каждой стороне и каждой диагонали ее серединный перпендикуляр (это ось симметрии n- угольника). У параллельных сторон и диагоналей серединные перпендикуляры совпадают. Верно и обратное: для каждой оси симметрии найдется перпендикулярная ей сторона или диагональ. Рассматривая отдельно случаи четного и нечетного n, убеждаемся, что правильный n- угольник имеет ровно n осей симметрии.
Теперь докажем, что для n
3 точек, никакие три из которых не лежат на
одной прямой, всегда найдутся n различных попарно непараллельных прямых.
Легко найти n - 1 прямую: возьмем произвольную точку и рассмотрим все прямые,
через нее проходящие. Труднее найти еще одну.
Выберем среди данных точек крайнюю. Для этого рассмотрим их выпуклую
оболочку. Иными словами, рассмотрим выпуклый
многоугольник, содержащий все
данные точки, с вершинами в
некоторых из этих точек
(это минимальный выпуклый многоугольник, содержащий все точки).
Пусть O - вершина этого выпуклого многоугольника (рис. ), A и B - соседние с ней вершины. Тогда все лучи, соединяющие O с остальными точками, проходят внутри угла AOB. Прямая AB пересекает их все и, значит, ее можно взять в качестве n-й прямой.
Комментарий. Условие общего положения точек нельзя заменить на более слабое: «не все точки лежат на одной прямой». Например, для вершин правильного 2k-угольника и его центра найдутся лишь 2k попарно непараллельных прямых.