Задача No. 107994

Решение

Пусть D и E - остальные вершины квадрата ABDE и $\gamma$ = $\angle$ ACB (рис. ).

Тогда (по теореме о средней линии треугольника) из $\triangle$ ACD получаем: CD = 2OM. Аналогично, CE = 2ON. Поэтому достаточно найти максимум CD + CE = 2(OM + ON).

Первое решение. На стороне BC треугольника ABC построим внешним образом квадрат CBD₁E₁ (рис. ). Треугольники ABD₁ и DBC равны по двум сторонам и углу между ними. Значит CD = AD₁.

В треугольнике ACD₁ две стороны известны: AC = b, CD₁ = a $\sqrt{2}$ . Кроме того, $\angle$ ACD₁ = $\gamma$ + 45^o. Третья сторона AD₁ принимает максимальное значение, когда треугольник вырождается в отрезок. Поэтому

max(CD) = max(AD₁) = b + a $\displaystyle \sqrt{2}$

при $\gamma$ = 135^o. Аналогично, max(CE) = a + b $\sqrt{2}$ при $\gamma$ = 135^o.

$\epsfbox{1993/ol93106-2.mps}$

Итак, каждая из величин OM, ON достигает максимума при $\gamma$ = 135^o. Значит, и их сумма максимальна при $\gamma$ = 135^o:

max(OM + ON) = $\displaystyle {\frac{1+\sqrt{2}}{2}}$ (a + b).

Второе решение. Обозначим $\angle$ CAB = $\alpha$ , $\angle$ ABC = $\beta$ , c = AB, d = CD, e = CE.

По теореме косинусов для треугольника ABC:

c² = a² + b² - 2ab^.cos $\displaystyle \gamma$ .

По теореме косинусов для треугольника AEC:

e² = b² + c² - 2bc^.cos(90^o+ $\displaystyle \alpha$ ) = b² + c² + 2bc sin $\displaystyle \alpha$

(мы воспользовались формулой приведения).

Подставим c² из первой формулы во вторую:

e² = 2b² + a² - 2ab^.cos $\displaystyle \gamma$ + 2bc^.sin $\displaystyle \alpha$ .

Из теоремы синусов для треугольника ABC следует, что sin $\alpha$ = ${\frac{a}{c}}$ sin $\gamma$ .

Получаем:

e² = 2b² + a² + 2ab^.(sin $\displaystyle \gamma$ - cos $\displaystyle \gamma$ ).

Аналогично получаем: d² = 2a² + b² + 2ab^.(sin $\gamma$ - cos $\gamma$ ).

Отсюда следует, что максимум d и e достигается одновременно с максимумом выражения sin $\gamma$ - cos $\gamma$ при $\gamma$ = 135^o. Значит, и d + e максимально при $\gamma$ = 135^o.

Условие

Решение