Тогда (по теореме о средней линии треугольника) из
ACD получаем:
CD = 2OM. Аналогично, CE = 2ON. Поэтому
достаточно найти максимум
CD + CE = 2(OM + ON).
Первое решение. На стороне BC треугольника ABC построим внешним образом квадрат CBD1E1 (рис. ). Треугольники ABD1 и DBC равны по двум сторонам и углу между ними. Значит CD = AD1.
В треугольнике ACD1 две стороны известны: AC = b,
CD1 = a. Кроме того,
ACD1 =
+ 45o.
Третья сторона AD1 принимает максимальное значение,
когда треугольник вырождается в отрезок. Поэтому
Итак, каждая из величин OM, ON достигает максимума при
= 135o.
Значит, и их сумма максимальна при
= 135o:
Второе решение.
Обозначим
CAB =
,
ABC =
, c = AB, d = CD, e = CE.
По теореме косинусов для треугольника ABC:
По теореме косинусов для треугольника AEC:
Подставим c2 из первой формулы во вторую:
Из теоремы синусов для треугольника ABC следует, что
sin =
sin
.
Получаем:
Аналогично получаем:
d2 = 2a2 + b2 + 2ab . (sin - cos
).
Отсюда следует, что максимум d и e достигается одновременно с максимумом
выражения
sin - cos
при
= 135o.
Значит, и d + e максимально при
= 135o.