---

Показать решение

---

Скрыть решение

Решение

  Правая часть уравнения при делении на 3 должна давать тот же остаток, что и левая, т. е. 1. Поэтому z — четное число (см. комментарий). Аналогично левая часть уравнения делится на 4 с остатком 1, поэтому число x тоже четное. Итак, 4^y = 5^z - 3^x = 5^2z₀ - 3^2x₀, т. е. 2^2y = (5^z₀ - 3^x₀)(5^z₀ + 3^x₀). Поэтому 5^z₀ - 3^x₀ = 2^k и 5^z₀ + 3^x₀ = 2^l, где k и l — целые неотрицательные числа и k + l = 2y. Таким образом, 5^z₀ = (2^k + 2^l) и

Значит, число 2^{l - 1} - 2^{k - 1} нечетно, поэтому k = 1. Значит, 2^k = 2 и 3^x₀ = 2^{l - 1} - 1. Следовательно, число l - 1 четно, l - 1 = 2s (иначе левая часть не делится на 3). Тогда 3^x₀ = (2^s - 1)(2^s + 1) — произведение двух множителей, отличающихся на 2 и являющихся степенями тройки. Ясно, что эти множители — 1 и 3. Тогда s = 1, l = 2s + 1 = 3. Теперь нетрудно видеть, что x = y = z = 2.

Комментарий. Нетрудно доказать по индукции, что остаток от деления на 3 числа 5^z равен 1 если z четно, и 2, если z нечетно.

На самом деле остатки от деления числа aⁿ на b (при фиксированных a и b) образуют периодическую последовательность.

Заметим также, что если b — простое число, то период этой последовательности является делителем числа p - 1. Это утверждение равносильно малой теореме Ферма, см. комментарий к задаче 6 для 11 класса олимпиады 1995 г.