Блок 5. Задача с параметрами в математическом анализе.

 

В математическом анализе задачи с параметрами связаны с обычными (классическими) для анализа элементами исследования функций с помощью производной, а также с определенным интегралом.

Эти задачи классифицируются следующим образом:

1.      Задачи на касательную.

2.      Задачи на отыскание промежутков монотонности.

3.      Задачи на экстремумы.

4.      Задачи на наибольшее и наименьшее значения функции.

5.      Задачи на отыскание числа корней уравнения с помощью исследования функции и построения графика.

6.      Задачи на вычисление площади фигуры с помощью определенного интеграла.

Все эти задачи решаются по обычным в анализе схемам, а параметр вносит лишь соответствующие коррективы в решения.

Пример. При каких значениях параметра  прямая  касается графика функции ?

Решение:

1)      Пусть касание происходит в точке с абсциссой ;

2)      Во-первых, эта точка должна быть общей точкой прямой и графика, т.е. уравнение  должно иметь решение;

3)      Во-вторых, производная функции  в этой точке должна быть равна угловому коэффициенту прямой . Это условие выражается уравнением , или ;

4)      Составим систему уравнений

 , из которой подстановкой найдем число : ; ; ; .

 

Ответ: .

Пример. Найти все , при которых функция  монотонно возрастает при всех .

Решение:

1) ; Функция дифференцируема на ;

2) ;

Это неравенство должно выполнятся при всех . Теперь, поскольку коэффициент при старшей степени квадратичной функции есть выражение, зависящее от параметра, следует рассмотреть случаи;

3)  и это выполняется при всех ;

4)  из рис.

на  этой «ветви» решений нет;

5)  из рис.

 

составим систему:

Ответ:

Пример. Найти все такие значения , что функция  возрастает на интервале .

Решение:

1)   Функция определена и дифференцируема на ;

2)   Сначала найдем промежутки возрастания заданной функции.

  - критические точки;

3)   Так как функция возрастает на , то для того, чтобы она возрастала на , необходимо и достаточно, чтобы . Следовательно, число  должно удовлетворять системе неравенств

 .

Ответ: .

Пример. При каких значениях  функция  имеет экстремум в точке ? Определите вид экстремума в точке  при найденном значении .

Решение:

1)      Функция определена и дифференцируема при всех ;

2)      Необходимым условием экстремума дифференцируемой функции в некоторой точке является равенство нулю ее производной в этой точке.

.

Из условия равенства нулю производной при  находим . Таким образом, ;

3)      Слева от точки   и функция убывает, справа от точки   и функция возрастает. Следовательно, в точке  функция имеет минимум.

Ответ: ; минимум.

Пример. При каком значении  наибольшее значение функции  на отрезке  равно 5?

Решение:

1)      Функция непрерывна на  и можно применить классическую схему нахождения наибольшего и наименьшего значений непрерывной на отрезке функции;

2)      Найдем критические точки, принадлежащие интервалу :

;

Вычислим значение функции в точке : ;

3)      Найдем значения функции на концах отрезка : ;

4)      Сравним полученные значения функций: при любом  имеем, что , . Следовательно, наибольшее значение функции равно .

Тогда .

Ответ: .

Пример. При каких положительных значениях параметра  площадь фигуры, ограниченной графиком функции  и осью абсцисс равна ?

Решение:

1)         Найдем точки пересечения графика функции  с осью OX: ;

2)         Найдем производную  и выделим промежутки возрастания и убывания функции:

 

Изобразим схематически график функции  при :

 

3) , но , или , , учитывая, что , находим .

Ответ: .

Пример. При каких положительных значениях а площадь фигуры, ограниченной линиями  равна ?

Решение:

I. Найдем точки пересечения линий:

1)

2)

3)

4)

5)

II. Изобразим фигуру:

Имеем .

III.

Имеем

Единственным решением системы является .

Ответ: .

Пример. При каких значениях параметра а уравнение  имеет единственное решение?

Решение:

            Представим заданное уравнение в виде  и рассмотрим функцию . Проведем исследование этой функции с помощью первой производной и построим график.

            1) , причем ;

2) Найдем точку пересечения с осью а: ;

3) Исследуем функцию на монотонность и экстремумы:

 - это критическая точка,

 - это максимум.

Изобразим график:

С рисунка (рассекая график прямыми ) «снимаем» ответ.

Ответ: