Условие

Рассматривается произвольный многоугольник (не обязательно выпуклый).

а) Всегда ли найдется хорда многоугольника, которая делит его на равновеликие части?

б) Докажите, что любой многоугольник можно разделить некоторой хордой на части, площадь каждой из которых не меньше, чем 1/3 площади многоугольника.

(Хордой многоугольника называется отрезок, концы которого принадлежат контуру многоугольника, а сам он целиком принадлежит многоугольнику, включая контур.)

Комментарий. Заметим, что хорда, проходящая через вершины многоугольника, может разрезать его более, чем на две части. Тем не менее, в пункте "а" имеется в виду: можно ли разрезать многоугольник хордой на две равновеликие части, см. также комментарий к решению.


Показать решение