Решение
Пусть A --вершина данного угла, O --фиксированная точка на биссектрисе, OBC -- рассматриваемый равнобедренный треугольник (OB = OC) и M --середина стороны BC. Треугольник OBC может располагаться так, что AB = AC. При этом точка M лежит на биссектрисе AO, причем для любой точки M на биссектрисе AO, кроме точек A и O, можно построить равнобедренный треугольник OBC так, что M будет серединой отрезка BC. Таким образом, весь луч AO, кроме точек A и O, входит в искомое ГМТ.
Пусть теперь AB
AC (см. рис.). Пусть D --точка, симметричная точке C относительно
биссектрисы AO. Тогда D лежит на луче AB и OD = OC = OB. Опустим перпендикуляр OK на BD.
Так как OB = OD, то BK = KD и, следовательно, KM --средняя линия в треугольнике BDC. Поэтому
KM || DC и
KM 
AO. Таким образом, в этом случае точка M обязана лежать на отрезке
KL таком, что L и C лежат по одной стороне угла,
OK 
AB и
KL 
AO.
Обратно, пусть M --любая точка указанного отрезка KL, не лежащая на биссектрисе и отличная от
точек K и L. Проведем через M прямую, перпендикулярную OM. Пусть она пересекает стороны
угла в точках B и C. Пусть
BAO = 
OAC = 
. Так как
OK 
AB и
KM 
AO,
то
OKM = 
BAO = 
. Так как
BKO = 
BMO = 90o, то точки B, K,
M, O лежат на одной окружности. Отсюда
OBM = 
OKM = 
(как вписанные). Тогда
OBC = 
= 
OAC и, следовательно, точки A, C, O, B лежат на одной
окружности. Так как
BAO = 
OAC = 
, то равны хорды BO = OC. Таким образом,
треугольник OBC --равнобедренный и BM = MC, то есть M входит в искомое ГМТ.