Решение
Пусть 3n + 1 = a2, 10n + 1 = b2, где a, b
N, и пусть 29n + 11 равно простому числу p.
Далее можно рассуждать разными способами.
Первый способ. Перемножим указанные равенства, в результате получим
30n2 + 13n + 1 = (ab)2. Вычитая из этого равенства
верное равенство
n2 + 2n + 1 = (n + 1)2, получим:
29n2 + 11n = (ab)2 - (n + 1)2.
Отсюда
np = (ab - n - 1)(ab + n + 1). Хотя бы один из множителей в правой части делится на p
и потому не меньше p. Во всяком случае
ab + n + 1
p, откуда
ab
28n + 10.
Возведем это неравенство в квадрат:
(ab)2
784n2 + 560n + 100. С другой стороны,
(ab)2 = 30n2 + 13n + 1, что противоречит предыдущему. Утверждение доказано.
Второй способ. Найдём такие вещественные числа x и y, что выполнено равенство
x(3n + 1) + y(10n + 1) = 29n + 11
для любого n. Из системы линейных уравнений
3x + 10y = 29, x + y = 11
получаем:
x = 
,
y = - 
. Таким образом,
= 29n + 11,
или
(9a + 2b)(9a - 2b) = 7p. Заведомо 9a + 2b > 7, откуда
9a + 2b
p > 29n. Так как
9a - 2b > 0, то
18a > 9a + 2b > 29n, откуда a > n,
3n + 1 = a2 > n2, n < 3.
Непосредственно проверяется, что значения n = 1, 2 не подходят.