Задача No. 105181

Арифметическая прогрессия состоит из целых чисел. Сумма первых n членов этой прогрессии является степенью двойки. Докажите, что n — также степень двойки.

Скрыть решение

Решение

Пусть a и b -- первый и n-й члены прогрессии, S -- сумма первых n членов. Тогда

S = $\displaystyle { \frac{a+b}{2}}$ n.

Значит, 2S делится на n. Так как 2S -- степень двойки, то и n -- степень двойки.

Комментарий. Мы использовали следующее утверждение: любой делитель степени двойки сам является степенью двойки. Аккуратное доказательство этого утверждения требует теоремы об однозначности разложения на простые множители (подумайте, почему).

Условие

Решение