Арифметическая прогрессия состоит из целых чисел. Сумма первых
n членов этой прогрессии является степенью двойки. Докажите, что
n — также степень двойки.
Скрыть решение
Решение
Пусть
a и
b -- первый и
n-й члены прогрессии,
S -- сумма первых
n членов. Тогда
S =
n.
Значит, 2
S делится на
n. Так как 2
S -- степень двойки, то и
n --
степень двойки.
Комментарий.
Мы использовали следующее утверждение: любой делитель степени двойки сам
является степенью двойки. Аккуратное доказательство этого утверждения требует
теоремы об однозначности разложения на простые множители (подумайте, почему).