---

Показать решение

---

Скрыть решение

Решение

Нетрудно проверить, что корнями уравнения x² + 3x + 2 = 0 являются -1 и -2. После увеличения коэффициентов на единицу получится уравнение x² + 4x + 3 = 0 с корнями -1 и -3, потом уравнение с корнями -1 и -4, затем -- с корнями -1 и -5, и, наконец, уравнение с корнями -1 и -6.

Чтобы проверить вышесказанное, придется решить 5 квадратных уравнений. Вместо этого можно воспользоваться теоремой Виета. Все наши уравнения имеют вид

где p -- целое число. Тогда, по обратной теореме Виета, корнями этого уравнения будут целые числа -1 и - p:

Комментарии. 1^o. Ср. с задачей 2 для 9 класса.

2^o. Годится любое уравнение, у которого один корень -1, а другой -- целый. При увеличении коэффициентов на единицу корень -1 будет сохраняться, а второй корень -- уменьшаться на единицу.

3^o. То, что корень -1 сохраняется, можно понять еще и так: увеличение коэффициентов p и q на единицу означает прибавление x + 1 к исходному трехчлену. При этом значение трехчлена в точке -1 меняться не будет. Значит, если число -1 было корнем, то оно и останется корнем.

4^o. Попробуем объяснить, как догадаться, что один из корней нужно брать равным -1. Пусть x₁ и x₂ -- корни. Тогда (по теореме Виета)

Значит, при увеличении p и q на единицу, сумма корней уменьшается на единицу. Самый простой способ этого добиться -- это оставить x₁ неизменным, уменьшив x₂ на 1:

Посмотрим, что произойдет с произведением корней:

Итак, произведение корней уменьшится на x₁, но оно должно увеличиться на 1. Значит, нужно взять x₁ = - 1.