Скрыть решение
Решение
Нетрудно проверить, что корнями уравнения
x2 + 3
x + 2 = 0 являются -1 и -2. После
увеличения коэффициентов на единицу получится уравнение
x2 + 4
x + 3 = 0 с
корнями -1 и -3, потом уравнение с корнями -1 и -4, затем -- с
корнями -1 и -5, и, наконец, уравнение с корнями -1 и -6.
Чтобы проверить вышесказанное, придется решить 5 квадратных уравнений. Вместо
этого можно воспользоваться теоремой Виета. Все наши уравнения имеют вид
x2 + (p + 1)x + p = 0,
где
p -- целое число. Тогда, по обратной теореме Виета, корнями этого
уравнения будут целые числа -1 и -
p:
(- 1) + (- p) = - (p + 1), (- 1)(- p) = p.
Комментарии.
1o. Ср. с задачей 2 для 9 класса.
2o. Годится любое уравнение, у которого один корень -1, а
другой -- целый. При увеличении коэффициентов на единицу корень -1 будет
сохраняться, а второй корень -- уменьшаться на единицу.
3o. То, что корень -1 сохраняется, можно понять еще и так: увеличение
коэффициентов p и q на единицу означает прибавление x + 1 к исходному
трехчлену. При этом значение трехчлена в точке -1 меняться не будет.
Значит, если число -1 было корнем, то оно и останется корнем.
4o. Попробуем объяснить, как догадаться, что один из корней нужно брать равным
-1. Пусть x1 и x2 -- корни. Тогда (по теореме Виета)
x1 + x2 = - p, x1x2 = q.
Значит, при увеличении
p и
q на единицу, сумма корней уменьшается на
единицу. Самый простой способ этого добиться -- это оставить
x1
неизменным, уменьшив
x2 на 1:
x1 + (x2 - 1) = - (p + 1).
Посмотрим, что произойдет с произведением корней:
x1(x2 - 1) = x1x2 - x1.
Итак, произведение корней уменьшится на
x1, но оно должно увеличиться на 1.
Значит, нужно взять
x1 = - 1.