По рёбрам выпуклого многогранника с 2003 вершинами проведена
замкнутая ломаная, проходящая через каждую вершину ровно один раз. Докажите, что
в каждой из частей, на которые эта ломаная делит поверхность многогранника,
количество граней с нечётным числом сторон нечётно.
Скрыть решение
Решение
Выберем любую из получившихся частей. Рассмотрим сумму
a1+
a2+...+
an, где
ai - количество сторон
i-й грани.
Каждое ребро многогранника, по которому ломаная не проходит, посчитано в этой
сумме дважды и поэтому чётность суммы не зависит от числа таких рёбер. Каждое
ребро, через которое проходит ломаная, входит в сумму ровно один раз. Таких
рёбер 2003, поэтому вся сумма нечётна.
Если бы количество граней с нечётным числом сторон было чётно, то
рассмотренная сумма также была бы чётна. Значит, это количество нечётно.