Решение
Обозначим через M точку вписанной окружности, диаметрально
противоположную точке L, через M" - точку вневписанной
окружности, диаметрально противоположную точке L" (рис.). Таким
образом, ML и M"L" - диаметры, соответственно, вписанной
и вневписанной окружностей, они параллельны высоте CH треугольника
ABC. Вписанная окружность переходит во вневписанную при гомотетии с
центром в точке C. При этой гомотетии диаметр ML переходит в
параллельный ему диаметр, т. е. M"L". Поэтому точки C,
M, L" лежат на одной прямой, а также точки C, M",
L лежат на одной прямой. Отсюда следует, что треугольники
L"LM и L"HC совмещаются гомотетией с центром в
точке L". Поскольку L"I - медиана треугольника
L"LM, прямая L"I пересекает отрезок CH в
его середине. 
Далее, треугольники LL"M" и LHC совмещаются гомотетией с центром в точке L. Поскольку LI" является медианой в треугольнике LL"M", прямая LI" также пересекает отрезок CH в его середине, откуда следует утверждение задачи.