---

Показать решение

---

Скрыть решение

Решение

Ответ: а), в) можно; б) нельзя.
Объясним, как можно действовать в пунктах а) и в).
Очевидно, что разрешёнными операциями можно получить из последовательности {a_n} последовательность {a_n+1-a_n}. Такое преобразование обозначим через T, а m-кратное применение преобразования T обозначим через T^m. Заметим, что если P(n) - многочлен от n степени m-1, то применение T к последовательности {P(n)} даёт последовательность {Q(n)}, где Q(n) - многочлен степени m-2. Отсюда, в частности, следует, что применение T^m к {P(n)} даёт нулевую последовательность. Ещё нам пригодится последовательность I, все члены которой - единицы (её можно получить делением данной последовательности на себя). Теперь легко предъявить последовательность операций для каждого из пунктов:

	{n2}	T	{2n+1}	-I	{2n}	/(I+I)	{n}
а)		®		®		®		;

в)

{

n2000+1

}

T2000

{

2000!

}

I/

{

n(n+1)*...*(n+2000)

}

*(2000!*I)

T2000

-------

®

--------

®

--------

®

{n(n+1)*...*(n+2000)}

®

{an+b}

,

n

n(n+1)*...*(n+2000)

2000!

где a и b - целые числа, a не равно 0. Дальнейшие действия ясны. б) Докажем, что последовательность {n} получить нельзя. Для этого заметим, что все последовательности, которые можно получить из {n+2^1/2}, имеют вид {P(n+2^1/2)/Q(n+2^1/2)}, где P и Q - многочлены с целыми коэффициентами. (В самом деле, исходная последовательность такой вид имеет. При почленном сложении, вычитании, умножении или делении последовательностей такого вида, очевидно, снова получится последовательность такого вида, а выбрасывание нескольких членов равносильно замене P(x)/Q(x) на P(x+r)/Q(x+r) для некоторого натурального r, что можно представить в требуемом виде, раскрыв все скобки в числителе и знаменателе.) Если в таком виде представляется последовательность {n}, то в таком виде представляется и последовательность, все члены которой равны 2^1/2. Но из равенства P(n+2^1/2)/Q(n+2^1/2)=2^1/2 следует, что отношение старших коэффициентов многочленов P и Q равно 2^1/2, что невозможно. Противоречие.