Скрыть решение
Решение
Ответ: а), в) можно; б) нельзя.
Объясним, как можно действовать
в пунктах а) и в).
Очевидно, что разрешёнными операциями можно получить из
последовательности {an} последовательность
{an+1-an}. Такое преобразование обозначим через T, а
m-кратное применение преобразования T обозначим через Tm. Заметим,
что если P(n) - многочлен от n степени m-1, то применение T к последовательности
{P(n)} даёт последовательность {Q(n)}, где Q(n) - многочлен степени m-2. Отсюда,
в частности, следует, что применение Tm к {P(n)} даёт нулевую
последовательность. Ещё нам пригодится последовательность I, все члены которой -
единицы (её можно получить делением данной последовательности на себя). Теперь
легко предъявить последовательность операций для каждого из пунктов:
| {n2}
| T
| {2n+1}
| -I
| {2n}
| /(I+I)
| {n} |
а)
| ®
| ®
| ®
| ; |
| |
в)
| {
| n2000+1
| }
| T2000
| {
| 2000!
| }
| I/
| {
| n(n+1)*...*(n+2000)
| }
| *(2000!*I)
|
| T2000 |
-------
| ®
| --------
| ®
| --------
| ®
| {n(n+1)*...*(n+2000)}
| ®
| {an+b}
| , |
n
|
| n(n+1)*...*(n+2000)
|
| 2000! |
где a и b - целые числа, a
не равно 0. Дальнейшие действия ясны. б) Докажем, что последовательность {n}
получить нельзя. Для этого заметим, что все последовательности, которые можно
получить из {n+2
1/2}, имеют вид
{P(n+2
1/2)/Q(n+2
1/2)}, где P и Q - многочлены с целыми
коэффициентами. (В самом деле, исходная последовательность такой вид имеет. При
почленном сложении, вычитании, умножении или делении последовательностей такого
вида, очевидно, снова получится последовательность такого вида, а выбрасывание
нескольких членов равносильно замене P(x)/Q(x) на P(x+r)/Q(x+r) для некоторого
натурального r, что можно представить в требуемом виде, раскрыв все скобки в
числителе и знаменателе.) Если в таком виде представляется последовательность
{n}, то в таком виде представляется и последовательность, все члены которой
равны 2
1/2. Но из равенства
P(n+2
1/2)/Q(n+2
1/2)=2
1/2 следует, что отношение
старших коэффициентов многочленов P и Q равно 2
1/2, что невозможно.
Противоречие.