Вписанная окружность треугольника ABC (AB > BC) касается сторон
AB и AC в точках P и Q соответственно, RS - средняя линия, параллельная AB, T -
точка пересечения прямых PQ и RS.
Докажите, что T лежит на биссектрисе угла
B треугольника.
Скрыть решение
Решение
Будем считать, что R лежит на AC, S - на BC. Тогда
RQ=RC-QC = (b/2) - ((a+b-c)/2) = ((c-a)/2).
Поскольку треугольники AQP и
RQT подобны, а треугольник AQP равнобедренный, то RQ=RT. Следовательно,
ST = RS-RT = RS-RQ= (c/2) - ((c-a)/2) = (a/2) = BS.
Отсюда треугольник
TSB равнобедренный и
/SBT =/STB=/ TBA, а BT -
биссектриса угла B треугольника ABC.