Задача No. 78650

Решение

Докажем сначала, что если n — натуральное число, отличное от 1 и 4, то n < [ $\sqrt{2n}$ ]². Действительно, для чисел n $\le$ 7 это утверждение легко проверяется, а если n $\ge$ 8, то n² $\ge$ 8n, поэтому n $\ge$ 2 $\sqrt{2n}$ , а значит, [ $\sqrt{2n}$ ]² $\ge$ ( $\sqrt{2n}$ - 1)² = 2n - 2 $\sqrt{2n}$ + 1 > n. Пусть n — натуральное число, отличное от 1 и 4. Положим q = [ $\sqrt{2n}$ ]. Тогда n < q², поэтому остаток от деления n на q² равен n. Но q = [ $\sqrt{2n}$ ] $\le$ $\sqrt{2n}$ , поэтому n² $\ge$ q/2.

Ответ

1 и 4.

Условие

Решение

Ответ