Урок 3.4 Метод трех точек в решении задач
с параметрами

Пример 1

Найти все пары чисел p и q, при которых неравенство не имеет решений
на отрезке [1; 5].

Решение

Из условия задачи следует, что неравенство не должно выполняться, в частности, в следующих трех точках: x = 1; x = 3; x = 5, то есть должна выполняться система неравенств: .
Решим эту систему относительно q, считая p параметром:
.
Каждое из трех двойных неравенств последней системы задает отрезок значений коэффициента q. Если выписанная система имеет хотя бы одно решение q, то все эти три отрезка должны иметь непустое общее пересечение. Но три отрезка имеют непустое общее пересечение тогда и только тогда, когда левый конец любого из них находится не правее правого конца любого другого отрезка. Запишем это условие системой неравенств:
.
Эта система имеет единственное решение р = −6. При этом значении p предыдущая система имеет единственное решение q = 7. Таким образом, три точки отрезка – два его конца и середина – оставили для рассмотрения только одну возможную пару значений параметров. Подставив эти значения в место коэффициентов квадратного трехчлена, получаем:
при |x – 3| ≤ 2, то есть условие задачи выполняется.

Ответ

 

ИИСС "Алгебраические задачи с параметрами"