Движения на плоскости

Пусть Ф - некоторая фигура, расположенная в плоскости. Пусть установлено некоторое правило, по которому каждой точке M фигуры Ф ставится в соответствие определённая точка M' той же плоскости. Тогда говорят, что в плоскости задано преобразование фигуры Ф. При этом точка M' называется образом точки M, а точку M называют прообразом точки M'. Совокупность всех точек, соответствующих точкам данной фигуры Ф, образует некоторую фигуру Ф', которая называется образом данной фигуры Ф; при этом первоначальную фигуру называют прообразом фигуры Ф'.

Рис. 1.

Наиболее важную роль в геометрии играют так называемые взаимно однозначные преобразования. Преобразование фигуры называется взаимно однозначным, если каждая точка фигуры-образа имеет только один прообраз.

Среди взаимно однозначных преобразований особую роль играют движения. Движением на плоскости называют в геометрии всякое преобразование, обладающее следующим свойством: если A и B - две произвольные точки фигуры Ф, преобразующиеся в точки A' и B' соответственно, то отрезки AB и A'B' равны между собой.

Рис. 2.

Из самого определения следует, что движение есть взаимно однозначное преобразование: если бы две различные точки A₁ и A₂ преобразовались движением в одну и ту же точку A', то, по определению, имело бы место соотношение A₁A₂ = A'A', то есть точки A₁ и A₂ совпадали бы.

Можно также доказать, что движение преобразует отрезок в отрезок, прямую - в прямую, луч - в луч, окружность - в окружность того же радиуса.

Две фигуры принято называть равными, если существует движение, преобразующее одну из них в другую. Так что всякое движение преобразует всякую фигуру в равную ей фигуру.

Применение преобразований в решении задач на построение называют методом геометрических преобразований. Идея этого метода состоит в том, что искомую или данную фигуру преобразуют так, чтобы после этого построение свелось к какой-либо элементарной задаче.