Урок – презентация

Тема урока «Квадратные уравнения (методы решения)» (2ч.)

Цели урока:

1.     Обучающие:

§         обобщение и систематизация знаний по теме;

§         ликвидация пробелов в знаниях учащихся;

§         установление внутри предметных связей изученной темы с другими темами курса алгебры.

2.     Развивающие:

§         расширение кругозора учащихся;

§         пополнение словарного запаса;

§         развитие мышления, внимания, умения учиться.

3.     Воспитание общей культуры.

Оборудование: ПК, проектор, экран;

у каждого ученика: конспект, пригласительный билет, исторический “путеводитель”.

Ход урока:

                              I.           Организационный момент

 Приветствие учащихся; проверка готовности к уроку.

Сообщение темы урока: “Квадратные уравнения (методы решения)”.

Совместное формулирование цели урока.

— Сегодня у нас несколько необычный урок: урок-презентация методов решения квадратных уравнений. Как вы думаете, как можно сформулировать цель нашего урока исходя из его темы? /Речь идет о методах, значит их много (больше одного), надо каждый вспомнить и проиллюстрировать примером./

 Иными словами, обобщить и систематизировать весь предшествующий опыт решения квадратных уравнений. А зачем нам это надо? /Для возможности выбора рационального пути решения./

 Итак, наша цель: обобщить опыт решения квадратных уравнений, научиться выбирать рациональный путь решения.

                           II.           Актуализация знаний

Прежде всего, вспомним, какие уравнения называются квадратными. /Уравнение вида , где х- переменная, a,b,c – числа , называется квадратным./ Квадратное уравнение, записанное в таком виде, является стандартным видом уравнения. Как называются числа a, b, c ?

/ а – старший коэффициент, b – второй коэффициент, с – свободный член/

Вспомним, как традиционно решаются квадратные уравнения разных видов.Первый вид квадратных уравнений – неполные квадратные уравнения. С этим видом квадратных уравнений мы познакомились на первых уроках изучения квадратных уравнений. Вспомним, какие виды неполных квадратных уравнений бывают и как они решаются (анализ таблицы).

Вспомним, как традиционно решаются квадратные уравнения, записанные в стандартном виде. Прежде всего, обратимся к понятию дискриминанта. Для чего и зачем он нужен? Вспомните слово “дискриминация”, что оно означает? Оно означает унижение одних и возвышение других, т.е. различное отношение к разным людям. Оба слова (и дискриминант, и дискриминация) происходят от одного латинского слова, означающего “различающий”. Дискриминант различает квадратные уравнения по числу корней (анализ слайда). Важное дополнение: в таких случаях (D<0) обычно уточняют – нет действительных корней. Дело в том, что в математике, кроме действительных чисел, рассматриваются так называемые мнимые числа; так вот, мнимые корни у такого уравнения есть. О мнимых числах и разрешимости таких квадратных уравнений мы поговорим в старших классах. Мы вспомнили всю “азбуку” квадратного уравнения?

/Нет. Мы не вспомнили теорему Виета./

Формулируем, обращая внимание на условие D0.

Итак, все необходимые, азбучные методы решения повторили, и я приглашаю вас на презентацию иных методов решения квадратных уравнений. И для начала заполним пригласительный билет, лежащий у каждого из вас на столе.

(Подписывают и заполняют таблицу)

Уравнение

a

b

c

b2 - 4ac

х1

х2

х1+ x2

х1 · x2

x2- 7x + 12 = 0

 

 

 

 

 

 

 

 

 

5

-7

-6

 

 

 

 

 

5x2 = 15x

 

 

 

 

 

 

 

 

 

3

0

-75

 

 

 

 

 

Проверим. Возьмите в руки простой карандаш, сверим ответы.

Уравнение

a

b

c

b2 - 4ac

х1

х2

х1+ x2

х1 · x2

х2- 7x + 12 = 0

1

-7

12

1

4

3

7

12

5x2- 7x - 6 = 0

5

-7

-6

169

2

-0,6

1,4

-1,2

5x2 = 15x

5

-15

0

225

0

3

3

0

3x2 - 75 = 0

3

0

-75

900

5

-5

0

-25

Поднимите руки те, кто безошибочно справились с работой. Молодцы! Передайте свои заполненные билеты вперед.

III.            Презентация специальных методов

Обратимся к конспекту урока. Помимо традиционных методов решения квадратных уравнений есть еще специальные и общие методы. Рассмотрим каждый из специальных методов в отдельности. И оценим его “перспективы”.

Метод выделения квадрата двучлена

Цель: привести уравнение общего вида к неполному квадратному уравнению.

В этом нам помогут формулы сокращенного умножения, а именно, квадратов суммы и разности:

Решим уравнение х2-6х+8=0 методом выделения квадрата двучлена.

,или

Ответ: 2;4.

Замечание: метод применим для любых квадратных уравнений, но не всегда удобен в использовании. Используется для доказательства формулы корней квадратного уравнения. (Обратить внимание на возможность пойти иным путем, применяя формулу разности квадратов).

Метод “переброски” старшего коэффициента

Суть метода состоит в то, что корни квадратных уравнений

ax2 + bx + c = 0 и y2+by+ac=0

связаны соотношениями:

и

В некоторых случаях удобно решать сначала не данное уравнение

ax2 + bx + c = 0, а приведенное y2+by+ac=0 ,которое получается из данного “переброской” коэффициента а, а затем разделить найденные корни на а для нахождения корней исходного уравнения.

Пример: решите уравнение: 

2-9х-5=0

заменим приведенным квадратным уравнением с “переброской” коэффициента а:

( D>0 ), по теореме, обратной теореме Виета, подбором найдем корни

вернемся к корням исходного уравнения

Ответ: 5; -0,5

 Замечание: метод хорош для квадратных уравнений с “удобными” коэффициентами. В некоторых случаях позволяет решить квадратное уравнение устно.

Следующие два метода также применимы при определенных условиях и позволяют избежать громоздких вычислений.

Если в квадратном уравнении a+b+c=0, то один из корней равен 1, а второй, по теореме Виета, равен .

Пример: решите уравнение:

157х2+20х-177=0

a = 157, b = 20, c = -177

a + b+ c =157+20-177=0

x1 = 1,

x2 = =

Ответ: 1;

 Если в квадратном уравнении a+c=b, то один из корней равен -1, а второй, по теореме Виета, равен

Пример: решите уравнение:

203х2+220х+17=0

a = 203, b = 220, c = 17

a + c = 203 + 17 = 220 = b

х1 = -1,

Ответ: -1;

Вывод: при решении квадратного уравнения стандартного вида полезно сначала проверить, являются ли числа 1 и -1 корнями уравнения.

Однако, при выборе пути решения квадратного уравнения следует помнить, что помимо специальных методов возможно применение и общих методов решения уравнений.

К таким методам относятся:

Презентация общих методов решения уравнений

Метод разложения на множители

Цель: Привести квадратное уравнение общего вида к виду А(х)·В(х)=0, где А(х) и В(х) – многочлены относительно х.

Способы:

Пример: решите уравнение:

2+2х-1=0

произведение двух множителей равно нулю, если хотя бы один из них равен нулю, а второй при этом не теряет смысла, или когда оба равны нулю.

,

или

Ответ: -1; .

Метод введения новой переменной

Умение удачно ввести новую переменную – важный элемент математической культуры. Удачный выбор новой переменной делает структуру уравнения более прозрачной.

Пример: решите уравнение:

Пусть: t = 5х + 3

Произведем замену переменной:

(Устно проверим условие D > 0)

по теореме, обратной теореме Виета,

t1 = 1, t2 = 2

Произведем обратную замену и вернемся к переменной х:

Если t = 1, то

Если t = 2, то

Ответ: -0,4; -0,2

Вывод: при решении уравнения не следует торопиться выполнять преобразования. Посмотрите, нельзя ли записать уравнение проще, введя новую переменную.

И, наконец, наиболее “зрелищный” метод.

Графический метод

Для решения уравнения f(x) = g(x) необходимо построить графики функций
y = f(x), y = g(x) и найти точки их пересечения; абсциссы точек пересечения и будут корнями уравнения. Вспомним применение этого метода при решении квадратного уравнения:

(Устно обсудить области определения.)

1.     Построим график функции

Графиком является парабола, “ветви” которой направлены вверх,(0;0) – вершина параболы, график симметричен относительно оси ординат

X

1

2

3

Y

1

4

9

2.     Построим график функции y = x + 2

Линейная функция. Графиком является прямая.

X

0

-2

Y

2

0

3.    Точки пересечения: А(-1;1) и В(2;4)

Ответ: -1;2

Применяя графический метод в данном случае, мы нашли точное значение корней, но так бывает не всегда. Однако графический метод часто применяют не для нахождения корней уравнения, а для определения их количества.

Историческая справка

Посмотрите на многообразие методов решения. Как, когда, сразу ли появилось такое многообразие? Как много вопросов…

Безусловно, человечество “додумалось” до всего не сразу и не в одночасье. Для этого потребовались долгие годы и даже столетия. Обратимся к историческому путеводителю. Первые упоминания о способах решения уравнений, которые мы сейчас называем квадратными относятся ко второму тысячелетию до н.э. Это эпоха расцвета Вавилонии и Древнего Египта. Первое тысячелетие н.э. – Римские завоевательные войны. К этому периоду относится творчество Диофанта. Его трактат “Арифметика” содержит ряд задач, решаемых при помощи квадратных уравнений. В IX веке узбекский математик Аль-Хорезми в Трактате “Алгебра” классифицирует квадратные уравнения. Для нас это время знаковое тем, что приблизительно в это время образуется древнерусское государство Киевская Русь. Все это время отличные по записи уравнения считались различными. Не было единого подхода к их решению. И только в XVI веке французский юрист, тайный советник короля Франции и математик Франсуа Виет впервые вводит в обращение буквенные обозначения не только для неизвестных величин, но и для данных, то есть коэффициентов уравнения. Тем самым он заложил основы буквенной алгебры.

Более подробно с этапами развития методов решения квадратных уравнений, а так же личностью Виета и его вклада в развитие алгебры мы сможем познакомиться на конференции.

Подведение итогов.

Итак, подведем итог. Решение квадратных уравнений возможно осуществлять разными методами. Для квадратных уравнений применимы не только традиционные и специальные методы решения, но и общие методы решения уравнений. Сегодня мы обобщили опыт решения квадратных уравнений и посмотрим, как научились выбирать наиболее рациональный метод решения. Попробуйте расшифровать высказывание из копилки “Золотых мыслей”. Для этого проанализируйте представленные уравнения, выберите для каждого более рациональный метод решения и укажите номер этого метода. Затем, согласно ключу, расставьте в нижней таблице слоги и прочтите высказывание.

№/№

Уравнение

№ метода

 

№ метода

 

1

20x2 - 6x = 0

 

1

КО

2

3x2 - 5x + 4 = 0

 

2

ТЬСЯ

3

100x2 + 53x – 153 = 0

 

3

ИН

4

35x2 – 8 = 0

 

4

У

5

7x2 + 8x + 2 = 0

 

5

ЛЕГ

6

299x2 – 300x + 1 = 0

 

6

АН

7

4x2 – 4x + 3 = 0

 

7

НО

8

(x – 8)2 – (3x + 1)2 = 0

 

8

ЗА

9

4(x – 1)2 + 0,5(x – 1) – 1 = 0

 

9

НЕ

10

12x2 = 0

 

10

РЕС

 

11

ЧИ

12

ТЕ

13

ВА

 

№ уравнения

2

8

1

 

3

5

10

 

7

 

4

9

6

7

 

 

 

 

 

 

 

 

,

 

 

 

 

 

 

Итак, получили высказывание Я. А. Коменского: “Учиться нелегко, но интересно”. Я думаю, эти слова как нельзя, кстати, подходят для окончания нашей сегодняшней презентации.

Домашнее задание

1.    Решите уравнение х2+6х-16=0 по формуле, выделением квадрата двучлена и графическим методом.

2.    Составьте уравнения на применение теорем (метод 9, 10).

3.    Решите уравнение 2+5х+2=0 пятью способами.

4.    Решите уравнение2-х)2-14(х2-х)+24=0 методом введения новой переменной.

“Золотые мысли” (контроль)

Расставьте номера методов решения уравнений и расшифруйте высказывание.

КЛЮЧ

№/№

Уравнение

№ метода

 

№ метода

 

1

20x2 - 6x = 0

2

1

КО

2

3x2 - 5x + 4 = 0

4

2

ТЬСЯ

3

100x2 + 53x – 153 = 0

9

3

ИН

4

35x2 – 8 = 0

3

4

У

5

7x2 + 8x + 2 = 0

5

5

ЛЕГ

6

299x2 – 300x + 1 = 0

10

6

АН

7

4x2 – 4x + 3 = 0

7

7

НО

8

(x – 8)2 – (3x + 1)2 = 0

11

8

ЗА

9

4(x – 1)2 + 0,5(x – 1) – 1 = 0

12

9

НЕ

10

12x2 = 0

1

10

РЕС

 

11

ЧИ

12

ТЕ

13

ВА

 

№ уравнения

2

8

1

 

3

5

10

 

7

 

4

9

6

7

 

 

 

 

 

 

 

 

,

 

 

 

 

 

 

 

Пригласительный билет (контроль)

Уравнение

a

b

c

b2 - 4ac

x1

x2

x1+ x2

x1· x2

X2- 7x + 12 = 0

1

-7

12

1

4

3

7

12

5x2- 7x - 6 = 0

5

-7

-6

169

2

-0,6

1,4

-1,2

5x2 = 15x

5

-15

0

225

0

3

3

0

3x2 - 75 = 0

3

0

-75

900

5

-5

0

-25