Задача No. 55771

Дан остроугольный треугольник ABC. С помощью циркуля и линейки постройте на его сторонах AB и BC соответственно точки X и Y, для которых BX = XY = YC.

Скрыть решение

Подсказка

Рассмотрите углы при основаниях равнобедренных треугольников XYC и BXY или примените гомотетию.

Решение

Первый способ.

Предположим, что нужные точки X и Y построены. Обозначим $\angle$ ABC = $\alpha$ . Поскольку треугольник BXY равнобедренный (BX = XY), то $\angle$ XYB = $\angle$ XBY = $\alpha$ , а т.к. XYB — внешний угол равнобедренного треугольника XYC (XY = YC), то $\angle$ XCY = ${\frac{\alpha}{2}}$ .

Отсюда вытекает следующий способ построения. От луча CB в полуплоскости, содержащей вершину A, откладываем луч под углом, равным половине угла B треугольника ABC. Этот луч пересекает сторону AB в искомой точке X. Затем от луча XC в полуплоскости, содержащей вершину B, откладываем луч под тем же углом. Пересечение этого луча со стороной BC даёт искомую точку Y.

Второй способ.

Возьмём на стороне AB произвольную точку X₁, отличную от B. Пусть окружность радиуса BX₁ с центром X₁ пересекает луч BC в точках B и Y₁. На прямой BC построим такую точку C₁, что Y₁C₁ = BX₁ и точка Y₁ лежит между B и C₁. При гомотетии с центром B, переводящей точку C₁ в C, точки X₁ и Y₁ переходят в искомые точки X и Y.

Условие

Подсказка

Решение