Внутри остроугольного треугольника найдите точку, сумма расстояний от которой до вершин минимальна.
Пусть P — точка внутри данного остроугольного треугольника ABC. Рассмотрите образ треугольника APB при повороте на 60o вокруг точки A и воспользуйтесь неравенством треугольника.
Пусть P — некоторая точка внутри остроугольного треугольника ABC. При повороте на 60o вокруг вершины A треугольник ABP переходит в равный ему треугольник AP1B1, а треугольник AP1P — равносторонний. Поэтому
Аналогично докажем, что
APB = 120o.
Следовательно,
BPC = 120o. Таким образом, каждая сторона
треугольника видна из искомой точки P под углом
120o.
Поэтому для построения точки P достаточно построить на двух
сторонах треугольника как на хордах дуги, вмещающие углы
120o.
Пусть P — точка, внутри треугольника ABC, из которой все стороны видны под углом 120o. Через вершины A, B и C проведём прямые, перпендикулярные отрезкам PA, PB и PC. Пусть M, N и K — точки пересечения этих прямых. Тогда треугольник MNK — равносторонний.
Если Q — произвольная точка внутри треугольника ABC, а X, Y и Z — её проекции на стороны KN, KM и MN треугольника MNK, проходящие через точки A, B и C соответственно, то
Поскольку
QX QA,
QY
QB и
QZ
QC, то
Эти решение годятся и для тупоугольного треугольника, если его наибольший угол не больше 120o. В противном случае искомая точка -- вершина тупого угла.