---

Показать решение

---

Скрыть решение

Подсказка

Пусть P — точка внутри данного остроугольного треугольника ABC. Рассмотрите образ треугольника APB при повороте на 60^o вокруг точки A и воспользуйтесь неравенством треугольника.

Решение

Пусть P — некоторая точка внутри остроугольного треугольника ABC. При повороте на 60^o вокруг вершины A треугольник ABP переходит в равный ему треугольник AP₁B₁, а треугольник AP₁P — равносторонний. Поэтому

причём равенство достигается только в случае, когда точки P₁ и P лежат на отрезке B₁C. Тогда APC = 120^o, т.е. сторона AC видна из точки P под углом 120^o.

Аналогично докажем, что APB = 120^o. Следовательно, BPC = 120^o. Таким образом, каждая сторона треугольника видна из искомой точки P под углом 120^o. Поэтому для построения точки P достаточно построить на двух сторонах треугольника как на хордах дуги, вмещающие углы 120^o.

Пусть P — точка, внутри треугольника ABC, из которой все стороны видны под углом 120^o. Через вершины A, B и C проведём прямые, перпендикулярные отрезкам PA, PB и PC. Пусть M, N и K — точки пересечения этих прямых. Тогда треугольник MNK — равносторонний.

Если Q — произвольная точка внутри треугольника ABC, а X, Y и Z — её проекции на стороны KN, KM и MN треугольника MNK, проходящие через точки A, B и C соответственно, то

(каждая из этих сумм равна высоте треугольника MNK).

Поскольку QX QA, QY QB и QZ QC, то

Эти решение годятся и для тупоугольного треугольника, если его наибольший угол не больше 120^o. В противном случае искомая точка -- вершина тупого угла.