Задача No. 55722

Два квадрата BCDA и BKMN имеют общую вершину B. Докажите, что медиана BE треугольника ABK и высота BF треугольника CBN лежат на одной прямой. (Вершины обоих квадратов перечислены по часовой стрелке).

Скрыть решение

Подсказка

Рассмотрите поворот на 90^o относительно вершины B, переводящий вершину K в вершину N.

Решение

Первый способ.

Продолжим медиану BE до пересечения с отрезком CN в точке F₁. Обозначим $\angle$ BAK = $\alpha$ . Из свойства медианы прямоугольного треугольника следует, что $\angle$ ABE = $\angle$ BAE = $\alpha$ .

Прямоугольные треугольники ABK и CBN равны по двум катетам, поэтому $\angle$ BCN = $\angle$ BAK = $\alpha$ . Таким образом,

$\displaystyle \angle$ NBF₁ = $\displaystyle \angle$ ABE = $\displaystyle \angle$ BAK = $\displaystyle \angle$ BCN = $\displaystyle \alpha$ .

Значит,

$\displaystyle \angle$ CF₁B = 180^o - ( $\displaystyle \angle$ CBF₁ + $\displaystyle \angle$ BCN) = 180^o - (90^o - $\displaystyle \alpha$ + $\displaystyle \alpha$ ) = 90^o.

Поэтому точка F₁ совпадает с точкой F — основанием высоты треугольника CBN. Следовательно, медиана BE треугольника ABK и высота BF треугольника CBN лежат на одной прямой.

Второй способ.

Рассмотрим поворот на 90^o относительно точки B, переводящий вершину K в вершину N. При этом повороте вершина C перейдёт в вершину A, а точки A и E — в некотороые точки A₁ и E₁. Отрезок AK перейдёт в отрезок A₁N, а середина E отрезка AK — в середину E₁ отрезка A₁N, а т.к. точка A₁ лежит на прямой BC и BA₁ = BA = BC, то B — середина CA₁.

Таким образом, E₁ и B середины отрезков A₁N и A₁C, поэтому E₁B — средняя линия треугольника A₁NC. Значит, BE₁ || NC, а т.к. $\angle$ EBE₁ = 90^o, то BE $\perp$ NC. Следовательно, точки E, B и F лежат на одной прямой.

Условие

Подсказка

Решение