Докажите, что всякий выпуклый четырёхугольник с осью симметрии либо
вписанный, либо описанный.
Скрыть решение
Подсказка
Разберите все возможные случаи.
Решение
Заметим, что каждая вершина такого четырёхугольника при симметрии
либо переходит сама в себя, либо в другую вершину.
Если ось симметрии является диагональю, то она —
биссектриса двух противоположных углов четырехугольника. Тогда
на ней пересекаются две другие биссектрисы, т.е.
четырёхугольник — описанный.
Если ось симметрии не является диагональю, то она — серединный
перпендикуляр к двум сторонам. Тогда на ней пересекаются два
других серединных перпендикуляра, т.е. четырёхугольник
вписанный.