Урок 51–52. Мешок.

Урок 51

План урока

Работа с бумажным учебником (20–25  мин)
1. Знакомство с листом определений «Мешок».
2. Решение задач 86–89.
Решение необязательных задач бумажного учебника.
3. Решение задач 91, 92.

Работа с компьютерным уроком (15–20 мин)
4. Решение задач 123–127.

Знакомство с листом определений «Мешок»

До настоящего момента дети в нашем курсе работали лишь с одной структурой элементов – цепочкой (конечной последовательностью). На данном уроке ребятам предстоит познакомиться с новой структурой – мешком. Примеры листа определений позволяют выделить следующие отличительные черты мешка. Во-первых, мешок состоит из отдельных элементов, то есть как и цепочка, мешок – это дискретная структура. При этом элементами мешка могут быть, вообще говоря, любые элементы. В нашем курсе мы будем обычно иметь дело с мешками наших элементов (фигурок, бусин, букв и цифр). Во-вторых, множество – структура, где элементы сложены без всякого порядка и не находятся между собой ни в каких отношениях. Это важное отличие мешка от цепочки. То есть, если цепочка – упорядоченная структура, мешок – неупорядоченная. Таким образом, можно представлять мешок как кучку элементов и рисовать (писать, называть) элементы мешка в любом порядке.

В математике в качестве неупорядоченной структуры чаще используют множество. Понятие «мешок» соответствует математическому понятию «мультимножество». Единственное отличие мешка от множества в том, что в мешке могут быть одинаковые элементы (в множестве это невозможно). Поскольку при введении серьезных теоретических понятий мы всегда опираемся на предметное мышление ребенка, то в данной теме делаем все, чтобы ребенок соотнес наше понятие «мешок» с реальным мешком предметов. Такое представление оказывается достаточным, чтобы успешно решать задачи и овладеть основами глубокого теоретического знания. Ясно, что в реальном мешке может быть несколько совершенно одинаковых предметов, например, карандашей, скрепок, мячей и т.д. Как видите, в нашем курсе понятие «мешок» оказывается более естественным для детей и удобным, чем понятие «множество».  

Как уже говорилось, элементы мешка не находятся друг с другом ни в каких отношениях. С мешком любой элемент связан только отношением принадлежности, то есть либо есть в мешке, либо – нет.  Кроме уже известного ребятам понятия «есть», мы употребляем новое (в нашем курсе) понятие «всего» и хотим, чтобы ребята поняли разницу в употреблении этих понятий и в том числе некоторое отличие от словоупотребления в языке. Как ребята уже должны понимать, понятие «есть» мы употребляем, если хотим сказать, что данный элемент просто принадлежит данному мешку. В утверждениях со словом «есть» ни идет речи от числе таких элементах в мешке. Мы можем сказать «В мешке есть яблоко» и в той ситуации, когда там всего одно яблоко и в той ситуации, когда там 10 яблок. С точки зрения языка для мешка с несколькими яблоками естественнее было бы сказать «В мешке есть яблоки», но мы этого не делаем, чтобы выделить логическую составляющую утверждения. С точки зрения формальной логики утверждение «В мешке есть яблоко» означает, что в мешке есть хотя бы одно яблоко. Никакую дополнительную информацию мы в такие утверждения умышленно не включаем. Если же мы хотим указать точное число элементов в мешке, мы используем понятие «всего». Утверждение «В мешке всего 8 элементов» мы будем понимать так, что мешок состоит ровно из 8 элементов. То есть в мешке есть 8 элементов, но нет девяти элементов. А утверждение «В мешке всего 3 яблока» мы будем понимать так, что в мешке есть 3 яблока, но нет четырех яблок.

Также на данном листе определений ребята знакомятся с понятием «пустой мешок». Ясно, что это мешок, в котором нет ни одного элемента.

Решение обязательных бумажных задач 86–89

Задача 86. Как обычно первая задача после листа определений несложная. Но здесь дети впервые сами рисуют мешок, поэтому на нее стоит обратить особое внимание. Дети, конечно, заметят, что мы в учебнике часто рисуем мешки похожими на обычные мешочки предметов (в разрезе). В частности, мы рисуем веревочку с бантиком, выделяем внутреннюю часть мешка серым цветом и т.д. Все это важно методически, чтобы провести аналогию с реальными мешками предметов. Однако ясно, что детям делать также совершенно необязательно. Для них достаточно просто нарисовать мешок так, чтобы было понятно, какие элементы в нем есть. Для этого можно рисовать оболочку мешка в виде окружности, овала, скругленного прямоугольника или другой замкнутой кривой без самопересечений. Размер оболочки (границы) мешка должен быть таким, чтобы в ней полностью помещались все элементы мешка. Поэтому часто детям бывает удобнее сначала нарисовать все элементы, а затем проводить границу. В данном случае задача имеет очень много решений. Подойдет и мешок с одной круглой бусиной и мешок с десятью круглыми бусинами. Важно лишь то, чтобы в мешке не было ни одной треугольной и ни одной квадратной бусины. Ясно, что поскольку в условии сказано, что искомый мешок – мешок бусин, то никаких других элементов (не бусин) в мешке тоже быть не должно.

Задача 87. Эта задача лишь проверяет понимание листа определений. Проверьте, все ли ребята поняли, что пустой мешок – мешок в котором нет ни одного элемента.

Задача 88. Не слишком сложная, но важная задача. Здесь дети впервые в одной задаче имеют возможность сравнить употребление понятий «есть» и «всего». Так словосочетание «есть два яблока» дети должны понимать так – в мешке есть хотя бы 2 яблока. При этом в мешке может быть и больше яблок. В данном случае в подходящем для нас (первом) мешке яблок четыре. Второй мешок нам не подходит, поскольку там вообще нет яблок, в третьем мешке яблоко лишь одно (то есть, двух яблок опять нет).
Второе задание сформулировано со словом «всего», поэтому в нем требуется найти мешок, в котором ровно 2 груши, то есть в котором есть две груши, но нет трех груш. Например, второй мешок нам не подходит, поскольку в нем всего 6 груш.

Задача 89. Это наиболее сложная бумажная задача данного урока. Возможно, с кем-то из слабых детей придется порассуждать. Не все дети способны делать из двух утверждений правильные выводы, поэтому самый простой совет – начать рисовать как придется. Читаем первое утверждение, рисуем 4 синие бусины в мешке. Читаем второе утверждение. В мешке должно быть всего 4 бусины, а у нас там уже есть 4 синие бусины, значит, больше ничего рисовать не нужно, мы уже получили ответ. Конечно, для решения этой задачи совершенно необходимо понимать разницу между употреблением понятий «есть» и «всего».

Решение необязательных бумажных задач

Задача 91. Несложная задача на повторение лексики, связанной с нумерацией элементов в цепочке. Она может быть предложена ребятам в качестве домашней работы. В данном случае подходящих цепочек оказывается ровно три.

Задача 92. Аналогичных задач ребята решали уже много. Поэтому данная задача лучше всего подходит для слабых и средних учащихся, которым в конце урока нужна некоторая интеллектуальная разгрузка.

Работа с компьютерным уроком

Как видите, на этом и следующем уроке мы предлагаем ребятам компьютерный урок по одной и то же теме («Мешок»). Такая необходимость в нашем курсе возникает не часто, в данном случае она продиктована следующими соображениями. Вы, конечно, понимаете, что создать мешок с помощью инструментов компьютерного учебника гораздо проще, чем на бумаге. Даже мешок бусин рисовать гораздо дольше, чем собрать мешок, используя лапку, а мешок фигурок придется создавать на бумаге с помощью вырезания и приклеивания (а это еще дольше). Мы, конечно, предлагаем в бумажном учебнике задачи на создание мешков, но не часто, ведь они требуют слишком много технической работы (и соответственно времени). А вот в компьютерном учебнике ребята наоборот могут такие задачи решать быстро. Как раз этому типу задач будет посвящен в основном следующий компьютерный урок. На этом уроке ребята решают только такие компьютерные задачи, которые можно выполнить с помощью обычного набора наших компьютерных возможностей. На следующем уроке у детей появится возможность решать новые задачи с помощью «библиотеки» элементов.

Задача 123. Эта задача позволяет ребятам содержательно сопоставить употребление понятий «есть» и «всего». Действительно, про данный мешок можно сказать, что в нем «есть рыба», «есть две рыбы», «есть три рыбы». А вот утверждение «В мешке есть 4 рыбы» для данного мешка ложно. Это как раз и означает, что в данном мешке всего 3 рыбы.

Задача 124. Как вы понимаете, любое множество является мешком, но не любой мешок является множеством. В данной задаче ребятам необходимо собрать мешок, в котором нет двух одинаковых бусин, поэтому мешок будет множеством. Набор бусин, которые можно использовать для построения мешка таков, что решение будет единственным. В искомом мешке должны находиться следующие бусины: треугольная голубая, треугольная синяя, треугольная красная, круглая желтая, круглая синяя, квадратная голубая, квадратная красная.

Задача 125. В этой задаче мы ведем пропедевтику операций над множествами (а мешки здесь являются множествами). Знаки, которые необходимо найти и пометить в задаче, составляют пересечение множеств А и Б. Это знаки, которые есть в каждом из двух множеств. В данном случае таких знаков оказывается всего 3. Обратите внимание, в данном случае общие знаки нужно пометить только в мешке А.

Задача 126. Более старшему ребенку или взрослому эту задачу было бы решить несколько сложнее. Ведь взрослый человек понимает, что не все буквы можно только по внешнему виду отнести к русским или не русским. Есть буквы, которые встречаются в алфавитах разных языков, например: Е, О, Р, А, Т и т.д. Однако предполагается, что дети 1 класса будут решать эту задачу совершенно формально, исходя из тех знаний, которые они получили в рамках нашего курса. То есть они будут перебирать по очереди все мешки, сравнивая их с множеством букв русского алфавита. Если хотя бы одна буква, которая есть в русском алфавите, есть и в мешке, то этот мешок отбрасывается и рассматривается следующий мешок. Нужный мешок оказывается в нижнем правом углу.

Задача 127. Необязательная. В этой задаче определить одинаковые фигурки на глаз довольно затруднительно, поэтому ребятам придется вспомнить тему «Сравнение фигурок наложением».

Урок 52

План урока

Работа с бумажным учебником (20  мин)
1. Решение задач 90, 93, 94, 96, 97.
Решение необязательных задач бумажного учебника.
2. Решение задач 95, 98

Работа с компьютерным уроком (20 мин)
3. Решение задач 128–132.

Решение обязательных задач бумажного учебника

Задача 90. Задача на употребление понятий «есть» - «нет» по отношению к элементам мешка. С этой задачей ребята должны справиться самостоятельно. В случае затруднений, предложите ученику вернуться к листу определений «Мешок».

Задача 93. В этой задаче требуется построить объект (мешок) удовлетворяющий сразу трем условиям, что вообще-то не очень просто. Но подходящих решений здесь несколько, да и пути решения могут быть разными. Итак ясно, что в мешке должно быть ровно 3 бусины. Хотя бы две из них должны быть красными и хотя бы две из них должны быть треугольными. При этом второе и третье условие не связаны между собой. Поэтому мы можем сделать очень просто – нарисовать в мешке 3 красные треугольные бусины. Возможны и другие решения, но нетрудно понять, что 2 красные треугольные бусины в мешке должны быть в любом случае. Действительно, допустим, что две одинаковые красные бусины – не треугольные, например, круглые. Тогда у нас остается лишь одна бусина, которую можно сделать треугольной. Третье условие выполнить становится невозможно.

Задача 94. Для ребят, которые правильно понимают утверждения со словом «всего», задача будет совсем не сложной, поэтому постарайтесь, чтобы все учащиеся решили ее самостоятельно. Выражение «всего 3 треугольные бусины» означает, что в мешке есть 3 треугольные бусины, но нет четырех. Оказывается, что такой мешок в задаче только один.

Задача 96. Условие задачи указывает, какие буквы могут быть в искомом мешке. Это согласные буквы, которые встречаются в слове ИНФОРМАТИКА – буквы Н, Ф, Р, М, Т, К. При этом заметим, что данные буквы не обязаны все быть в нашем мешке, кроме того каждая из этих букв может встречаться в мешке в нескольких экземплярах. Поэтому подходящих мешков в данной задаче будет очень много. Подойдет и мешок, состоящий из одной буквы Н, и мешок состоящий из пяти Ф и десяти Р. Многие ребята нарисуют мешок: Н, Ф, Р, М, Т, К. Это множество всех согласных букв слова ИНФОРМАТИКА. Оно, конечно, также подходит в качестве решения.

Задача 97. В этой задаче нужно выбрать мешок из набора по описанию. Обычно дети (да и взрослые) идут одним из двух путей. Первый -  для каждого из мешков по очереди проверять сразу все утверждения. В этом случае как только одно из утверждений становится ложным, мы понимаем, что мешок нам не подходит и переходим к следующему мешку. В противном случае оказывается, что все утверждения истинны и мы находим нужный мешок. Второй вариант – по очереди проверять утверждения для всех мешков сразу. В таком случае мы отбрасываем неподходящие мешки по ходу решения до тех пор, пока не останется один (искомый) мешок. Так проверим первое утверждение для всех мешков. Видим, что во втором мешке 6 цифр, значит его можно отбросить и больше для него утверждения не проверять. Второе утверждение ложно для четвертого мешка, третье – для первого и последнего. Значит последнее утверждение мы проверяем только для двух мешков – третьего и пятого, причем только для пятого мешка утверждение оказывается истинным.

Решение необязательных задач бумажного учебника

Задача 95. Эта задача предназначена в основном для техничных детей. Действительно, найти недостающие буквы хаотичным просматриванием в этой задаче маловероятно, поэтому придется организовать полный перебор русских букв. Перебор будет здесь заключаться в сопоставлении каждой буквы мешка с буквами алфавитной линейки. При этом, конечно, необходимо делать пометки. Берем любую букву из мешка, например А. Обводим ее в мешке и ставим галочку около соответствующей клетки алфавитной линейки. Теперь берем следующую букву, например Ц и т.д. Как только все буквы в мешке окажутся обведены, на алфавитной линейке окажутся непомеченными ровно 3 клетки. В этих клетках и будут недостающие буквы.

Задача 98. Содержательно эта задача простая и знакомая, но представляет некоторую техническую сложность, хотя здесь две одинаковые буквы вполне реально найти хаотичным просматриванием. Эта задача предназначена в основном для средних детей – сильным она может показаться уже скучной, а самым слабым – слишком сложной технически.

Решение задач компьютерного урока

На этом уроке у ребят появляется возможность в компьютерном виде построить мешок по системе условий. При этом часть технической нагрузки мы по-прежнему берем на себя – сами рисует оболочку мешка. Однако с точки зрения содержания ребята решают полноценные задачи на построение мешка по описанию. Технически эта возможность обеспечивается с помощью лапки, уже знакомой детям, и новой для них библиотеки элементов. Библиотека элементов (бусин или фигурок) для ребенка выглядит как несколько стопочек объектов сложенных так, что все одинаковые объекты находятся в одной стопке, а разные – в разных. Таким образом, ребенок берет лапкой верхнюю фигурку из нужной ему стопочки и перетаскивает ее в мешок. То есть с точки зрения ребенка (внешней) лапка работает как всегда, поэтому никаких ваших пояснений в связи с новыми компьютерными возможностями давать детям не требуется. Конечно, человеку более искушенному в компьютерных операциях сразу становится ясно, что по сути это совершенно новое действие. Раньше дети лапкой только перетаскивали фигурку по рабочему пространству экрана, что в приложениях обычно соответствует операции «переместить». Объект при этом остается один, он просто из одного места перемещается в другое. Здесь же, как видно, лапка выполняет другое действие – копирование объекта, которое только внешне выглядит также. Конечно, со временем мы собираемся объяснить разницу между этими двумя действиями, но в 1 классе это делать рановато, ребята пока лишь осваиваются с самыми простыми компьютерными возможностями. Именно поэтому мы не стали делать нового отдельного инструмента для новой операции и используем знакомую ребятам лапку.

Задача 128. Цель этой задачи – познакомить ребят с работой лапки с библиотекой бусин, ведь содержательно задача совсем не сложная. Как мы уже говорили, лапка здесь работает обычным образом. Например, мы хотим положить в мешок М красную круглую бусину. Выбираем в ящике инструментов лапку. Теперь щелкнем лапкой на красной круглой бусине в библиотеке бусин. При этом красная круглая бусина копируется и прилепляется к лапке. Внешне это выглядит так, как будто лапка берет верхнюю красную круглую бусину в стопке. Теперь по второму щелчку лапки скопированная бусина отклеится и останется в мешке. Отметим, что с копиями элементов лапка работает по-настоящему обычным образом, она их просто перетаскивает. Поэтому если вы взяли какой-то элемент из библиотеки поместили в мешок, а затем хотите передвинуть, это вполне можно сделать той же самой лапкой (обычным способом). Если вам необходимо удалить бусину, взятую в библиотеке, это можно сделать как обычно, либо кнопкой отмены, либо ластиком. В библиотеке бусин есть еще одна новая для детей деталь - возможность прокрутки библиотеки элементов. Действительно, часто все элементы библиотеки не помещаются на экране, как, например, в данной задаче. Просмотреть их можно, пользуясь стрелками "вверх" и "вниз". На это мы специально обращаем внимание ребенка в условии задачи.

Задача 129. Здесь снова требуется собрать мешок, но содержательно задача несколько сложнее, ведь надо соблюсти сразу 3 условия. Однако отметим, что у этой задачи есть много решений, в том числе и совсем простое – положить в мешок Ю только один баклажан. Для такого мешка все три данных утверждения будут истинными. Ребятам, которые будут идти к решению более сложными путями, в том числе воспользуются методом проб и ошибок, возможно придется удалять фигурки, скопированные по ошибке. Таким ребятам мы предлагаем в условии воспользоваться ластиком

Задача 130. Для рассеянных и невнимательных ребят задача может оказаться сложной. Здесь придется искать пары одинаковых фигурок, а фигурки очень похожи. Таким детям можно посоветовать начать решать как-нибудь, то есть методом проб и ошибок. Вынем из мешка фигурки так, чтобы их осталось ровно 5. Теперь проверим первое утверждение. Если в мешке есть две одинаковые фигурки (утверждение ложно), то вынем одну из них из мешка и заменим ее фигурой, для которой в мешке не найдется такой же. Теперь снова проверим первое утверждение. Так будем делать до тех пор, пока утверждение не станет истинным.

Задача 131. Эта задача аналогична бумажной задаче 97. Отличие данной задачи лишь в том, что требуется найти все мешки, удовлетворяющие условию. Поэтому, если решение задачи 97 можно было найти случайно, то здесь необходимо выполнить полный перебор мешков. При недостатке времени на уроке, в классе можно решить задачу 131, а задачу 97 – оставить на дом.

Задача 132. Необязательная. Задача ребятам знакомая и скорее развлекательная, предназначенная для отдыха в конце урока. Нетрудно заметить, что фигурки здесь отличаются лишь по трем признакам: направление взгляда (вправо или влево), цвет клубочка, цвет тапочек. По этим признакам фигурки можно разделить на группы и тогда найти две одинаковые оказывается не слишком сложно.