Использование координат в древности и в Средневековье

В настоящее время под координатами точки на плоскости или в пространстве понимается набор чисел, однозначно задающий эту точку: в случае плоскости таких координат обычно берется две, в случае трехмерного пространства – три. Использование координат позволяет существенно расширить область методов, используемых в разнообразных математических задач: а именно, благодаря координатам удается свести геометрические задачи на отыскание точек, а также тех или иных фигур, к решению уравнений и их систем; и наоборот, при помощи координат можно применить геометрические методы к изучению решений различных алгебраических задач.

Создание т. н. аналитической геометрии, характеризующейся широким использованием методов алгебры в геометрии, а методов геометрии – в алгебре на основании систематического применения метода координат, – достижение XVII в. Тем не менее, координаты появились уже в древности, причем в различных формах, между собой не связанных.

Во-первых, это были географические координаты на земной поверхности и сходные с ними астрономические координаты на небесной сфере. И те, и другие координаты были известны уже древним грекам (например, Птолемею).

Рис. 1. Карта Птолемея, глобус, изображенный на древнеримской фреске

Именно к грекам восходят названия географических координат – широта и долгота (греч. «платос» и «мехос», дословно «ширина» и «длина»). Как известно, широта φточки M на земной поверхности представляет собой угол между экватором и радиусом, проведенным из центра Земли к точке M; широта измеряется от 0 до 90° на север и на юг от экватора: говорят, что она равна «стольким-то градусам северной или южной широты», что указывает, в частности, на некоторую архаичность этого понятия (обходились без отрицательных значений!). Долгота – это угол φмежду нулевым меридианом и меридианом, проходящим через данную точку M; она измеряется от 0 до 180° на запад или на восток от нулевого меридиана («столько-то градусов западной или восточной долготы»).

Рис. 2. Географические координаты на земной поверхности, греческое изображение глобуса 150 г. н. э.

 

Рис. 3. Географические координаты

Поскольку необходимо было не только вычислять координаты точек, но и отображать на картах участки земной поверхности и звездного неба, необходимо было определять координаты не только на сфере, но и на плоскости в тех или иных проекциях. Уже Птолемей использовал различные виды проекций, в частности, стереографическую проекцию, получающуюся при проектировании сферы из полюса на плоскость экватора, и доказывал, что при такой проекции окружности на сфере переходят в окружности и прямые на карте, а также не меняются углы между линиями (углами между кривыми линиями называются углы между прямолинейными касательными к ним, проведенными в точке пересечения данных линий).

Рис. 4. Cтереографическая проекция

Во-вторых, для изучения конкретных фигур древние и средневековые математики вводили особые отрезки, длины которых менялись от точки к точке и которые выполняли роль координат, а соотношения между ними – роль уравнений тех или иных линий. Например, изучая свойства конических сечений, Аполлоний Пергский доказывает, что для произвольной точки оси параболы K квадрат на полухорде KM равен по площади прямоугольнику, построенному на отрезке диаметра параболы от точки K до вершины P, и на постоянном отрезке PR. Если обозначить y = KMx = PKa = PR, то утверждение Аполлония может быть записано как современное уравнение параболы ax = y2.

Модель 1. Прямоугольные координаты для параболы

Однако в действительности x и y здесь – не числовые характеристики, задаваемые для произвольных точек плоскости и отсчитываемые от фиксированных осей, а лишь определенные отрезки, связанные с точками рассматриваемой фигуры. И, конечно, у Аполлония не было наших алгебраических обозначений, а только словесные формулировки равенств. Тем не менее, определенные элементы метода координат в таком рассмотрении содержатся, и недаром именно терминология Аполлония в дальнейшем оказала влияние на современные названия координат. Аполлоний называл половины хорд между линией и ее диаметром «приложенными по порядку»; в латинском переводе это выражение было передано как ordinatim applicatae, откуда и происходит слово «ордината» (а также «аппликата»; для обозначения второй координаты первоначально употреблялись оба слова, в дальнейшем ордината стала названием y-координаты, а аппликата – z-координаты). Линия PK называлась «отсеченной от вершины», по латыни ad verticem abscissa – отсюда наше «абсцисса».

«Система координат» у Аполлония не обязательно прямоугольная: его результат доказан и для того случая, когда ордината – отрезок не оси параболы, а другого ее диаметра (т. е. произвольной прямой, параллельной оси), при этом абсцисса должна быть параллельна касательной, проведенной в конце диаметра.

Модель 2. Произвольный наклон одной из осей координат для параболы

В третьих, уже в античности использовалась, по существу, и полярная система координат: например, ее применял Архимед для изучения спирали, ныне носящей его имя. Архимед определил эту спираль как кривую, которую описывает точка M, если она равномерно движется от O к A, в то время как луч OA равномерно вращается вокруг точки O. Архимед показал, что расстояния от центра до точек спирали пропорциональны соответствующим дугам окружности: ρ1 : ρ2 = φ1 : φ2, откуда уравнение спирали ρ = aφ.

Рис. 5. Спираль Архимеда

И, наконец, своеобразное использование координат характеризует одно из направлений средневековой философии математики, возникшее в XIV в. и именовавшееся по-разному: учением об интенсии и ремисии качеств, либо о широтах форм, либо о равномерности и неравномерности интенсивностей и т. д. Представители данного направления – Р. Суайнсхед, У. Хейтсбери, Н. Орем и др. – пришли к трактовке качеств тел, которые с ходом времени могут меняться по интенсивности. Одним из таких качеств, например, считалась скорость (скорость не рассматривалась как «отношение пройденного пути ко времени», прежде всего, потому, что античная традиция запрещала говорить об отношениях между неоднородными друг другу величинами). Изменение или неизменность интенсивности качества во времени изображались с помощью своего рода графика, где по горизонтальной оси откладывали временную длительность (longitudo – «долготу»), а на концах проведенных к этой оси перпендикуляров – интенсивность (latitudo – «широту») рассматриваемого качества, например, скорость: в сущности, эти «долгота» и «широта» играли роль координат на плоскости (хотя без каких-либо измерений), а словесно сформулированная зависимость между ними обозначалась линией.

При этом движения делились на три типа:

а) равномерное (скорость постоянна);
б) равномерно-неравномерное (скорость меняется на одинаковую величину за одинаковые промежутки времени: в современной терминологии, равноускоренное движение);
в) неравномерно-неравномерное (скорость меняется по какому-либо другому закону).

В первом случае движение изображалось горизонтальной прямой, во втором – наклонной прямой, в третьем – кривой линией. Мы бы сейчас дополнили эти рисунки обозначениями по осям координат υ и t.

Модель 3. Интенсивность качества – координаты для негеометрических величин

Главным результатом данного направления было доказательство того, что при равномерно-неравномерном (т. е. равноускоренном) движении средняя скорость на промежутке равна среднему арифметическому начальной и конечной скоростей: это доказательство в XVII в. было воспроизведено Г. Галилеем.

Рис. 6. Средняя скорость тела при равноускоренном движении