Задача No. 52357

AA₁ и BB₁ — высоты остроугольного треугольника ABC. Докажите, что:

а) треугольник AA₁C подобен треугольнику BB₁C;

б) треугольник ABC подобен треугольнику A₁B₁C.

в) найдите коэффициент подобия треугольников A₁B₁C и ABC, если $\angle$ ACB = $\gamma$ .

Скрыть решение

Подсказка

Постройте на стороне AB как на диаметре окружность.

Решение

Первый способ.

а) Прямоугольные треугольники AA₁C и BB₁C подобны по двум углам.

б) Отрезок AB виден из точек A₁ и B₁ под прямым углом. Поэтому точки A₁ и B₁ лежат на окружности с диаметром AB. Пусть $\angle$ ACB < 90^o. Тогда

$\displaystyle \angle$ ABC = $\displaystyle \angle$ ABA₁ = 180^o - $\displaystyle \angle$ AB₁A₁ = $\displaystyle \angle$ CB₁A₁.

Следовательно, треугольники ABC и A₁B₁C подобны по двум углам. Аналогично для случая, когда $\angle$ ACB > 90^o.

в) Пусть k — коэффициент подобия треугольников A₁B₁C и ABC. Тогда, если $\gamma$ < 90^o, то из прямоугольного треугольника CAA₁ находим, что

k = $\displaystyle {\frac{CA_{1}}{CA}}$ = cos $\displaystyle \angle$ C = cos $\displaystyle \gamma$ .

Если же $\angle$ ACB > 90^o, то аналогично находим, что

k = $\displaystyle {\frac{CA_{1}}{CA}}$ = $\displaystyle {\frac{CB_{1}}{CB}}$ = cos(180^o - $\displaystyle \angle$ C) = - cos $\displaystyle \gamma$ .

Второй способ.

а), б) Прямоугольные треугольники AA₁C и BB₁C подобны по двум углам, поэтому ${\frac{CA_{1}}{CB_{1}}}$ = ${\frac{CA}{CB}}$ . Следовательно, треугольники ABC и A₁B₁C подобны по двум сторонам и углу между ними.

Ответ

в) | cos $\gamma$ |.

Условие

Подсказка

Решение

Ответ