Задача No. 55353

Пусть M — точка пересечения медиан треугольника ABC. Докажите, что $\overrightarrow{MA}$ + $\overrightarrow{MB}$ + $\overrightarrow{MC}$ = $\overrightarrow{0}$ .

Скрыть решение

Подсказка

Медианы треугольника делятся их точкой пересечения в отношении 2:1, считая от вершины.

Решение

Пусть A₁, B₁, C₁ — середины сторон соответственно BC, AC, AB треугольника ABC. Тогда

$\displaystyle \overrightarrow{MA}$ + $\displaystyle \overrightarrow{MB}$ + $\displaystyle \overrightarrow{MC}$ = - $\displaystyle {\textstyle\frac{2}{3}}$ ( $\displaystyle \overrightarrow{AA_{1}}$ + $\displaystyle \overrightarrow{BB_{1}}$ + $\displaystyle \overrightarrow{CC_{1}}$ ) = - $\displaystyle {\textstyle\frac{2}{3}}$ ^. $\displaystyle \overrightarrow{0}$ = $\displaystyle \overrightarrow{0}$ .

Условие

Подсказка

Решение