Задача No. 55301

В треугольнике известны сторона a и два прилежащих к ней угла $\beta$ и $\gamma$ . Найдите биссектрису, проведённую из вершины третьего угла.

Скрыть решение

Подсказка

Примените теорему синусов.

Решение

Пусть AM — биссектриса треугольника ABC, CB = a, $\angle$ B = $\beta$ , $\angle$ C = $\gamma$ . Тогда

$\displaystyle {\frac{AB}{\sin \gamma}}$ = $\displaystyle {\frac{a}{\sin (180^{\circ } - \beta - \gamma)}}$ = $\displaystyle {\frac{a}{\sin (\beta+\gamma)}}$ $\displaystyle \Rightarrow$ AB = $\displaystyle {\frac{a\sin \gamma}{\sin (\beta + \gamma)}}$ ,

В треугольнике AMB:

$\displaystyle \angle$ AMB = $\displaystyle \gamma$ + $\displaystyle \angle$ $\displaystyle {\textstyle\frac{1}{2}}$ A = $\displaystyle \gamma$ + 90^o - $\displaystyle {\frac{\gamma + \beta}{2}}$ = 90^o + $\displaystyle {\frac{\gamma - \beta}{2}}$ ,

$\displaystyle {\frac{AM}{\sin \beta}}$ = $\displaystyle {\frac{AB}{\sin \angle AMB}}$ = $\displaystyle {\frac{\frac{a \sin \gamma}{\sin (\beta + \gamma)}}{\cos \frac{\gamma - \beta}{2}}}$ .

Отсюда находим, что

AM = $\displaystyle {\frac{a\sin \beta\sin \gamma}{\sin (\gamma +\beta) \cos \frac{\beta -\gamma}{2}}}$ .

Ответ

a sin $\beta$ sin $\gamma$ sin( $\gamma$ + $\beta$ )cos ${\frac{\beta -\gamma}{2}}$ .

Условие

Подсказка

Решение

Ответ