Задача No. 55231

Пусть h₁, h₂, h₃ — высоты треугольника, r — радиус вписанной окружности. Докажите, что h₁ + h₂ + h₃ $\geqslant$ 9r.

Подсказка

Воспользуйтесь формулой S = pr, где S — площадь, а p — полупериметр треугольника.

Решение

Пусть a, b, c — стороны треугольника, соответствующие высотам h₁, h₂, h₂; S — площадь треугольника. Тогда

S = $\displaystyle {\textstyle\frac{1}{2}}$ ah₁ = $\displaystyle {\frac{a + b + c}{2}}$ r.

Поэтому

h₁ = $\displaystyle \left(\vphantom{1 + \frac{b}{a} + \frac{c}{a}}\right.$ 1 + $\displaystyle {\frac{b}{a}}$ + $\displaystyle {\frac{c}{a}}$ $\displaystyle \left.\vphantom{1 + \frac{b}{a} + \frac{c}{a}}\right)$ r.

Аналогично получим, что

h₂ = $\displaystyle \left(\vphantom{1 + \frac{a}{b} + \frac{c}{b}}\right.$ 1 + $\displaystyle {\frac{a}{b}}$ + $\displaystyle {\frac{c}{b}}$ $\displaystyle \left.\vphantom{1 + \frac{a}{b} + \frac{c}{b}}\right)$ r, h₃ = $\displaystyle \left(\vphantom{1 + \frac{a}{c} + \frac{b}{c}}\right.$ 1 + $\displaystyle {\frac{a}{c}}$ + $\displaystyle {\frac{b}{c}}$ $\displaystyle \left.\vphantom{1 + \frac{a}{c} + \frac{b}{c}}\right)$ r.

Следовательно,

h₁ + h₂ + h₃ = $\displaystyle \left(\vphantom{3 + \left(\frac{b}{a} + \frac{a}{b}\right) + \le... ...rac{c}{a} + \frac{a}{c}\right) + \left(\frac{c}{b} + \frac{b}{c}\right)}\right.$ 3 + $\displaystyle \left(\vphantom{\frac{b}{a} + \frac{a}{b}}\right.$ $\displaystyle {\frac{b}{a}}$ + $\displaystyle {\frac{a}{b}}$ $\displaystyle \left.\vphantom{\frac{b}{a} + \frac{a}{b}}\right)$ + $\displaystyle \left(\vphantom{\frac{c}{a} + \frac{a}{c}}\right.$ $\displaystyle {\frac{c}{a}}$ + $\displaystyle {\frac{a}{c}}$ $\displaystyle \left.\vphantom{\frac{c}{a} + \frac{a}{c}}\right)$ + $\displaystyle \left(\vphantom{\frac{c}{b} + \frac{b}{c}}\right.$ $\displaystyle {\frac{c}{b}}$ + $\displaystyle {\frac{b}{c}}$ $\displaystyle \left.\vphantom{\frac{c}{b} + \frac{b}{c}}\right)$ $\displaystyle \left.\vphantom{3 + \left(\frac{b}{a} + \frac{a}{b}\right) + \le... ...rac{c}{a} + \frac{a}{c}\right) + \left(\frac{c}{b} + \frac{b}{c}\right)}\right)$ r $\displaystyle \geqslant$ (3 + 2 + 2 + 2)r = 9r.

Условие

Подсказка

Решение