Задача No. 55218

Докажите, что среди всех треугольников с данным основанием и высотой, опущенной на это основание, наибольшую величину противолежащего угла имеет равнобедренный треугольник.

Скрыть решение

Подсказка

Через вершину равнобедренного треугольника проведите касательную к описанной окружности.

Решение

Рассмотрим равнобедренный треугольник ABC (AB = AC) с основанием BC = a и высотой AM = h. Центр окружности, описанной около этого треугольника, лежит на прямой AM. Проведём в точке A касательную к этой окружности.

Если A₁ — любая точка этой касательной, отличная от A, то высота треугольника BA₁C, опущенная на BC также равна h. Поскольку точка A₁ лежит вне проведенной окружности, то отрезок BA₁ пересекает эту окружность. Пусть K — отличная от B точка пересечения. Тогда

$\displaystyle \angle$ BAC = $\displaystyle \angle$ BKC = $\displaystyle \angle$ BA₁C + $\displaystyle \angle$ KCA₁ > $\displaystyle \angle$ BA₁C.

Условие

Подсказка

Решение