Изопериметрическая задача и некоторые другие задачи на максимум и минимум. Урок 2

Кроме изопериметрических задач греки решали и другие задачи, где надо было найти линию, у которой определенная характеристика – не обязательно площадь – минимальна или максимальна. Например, Герон Александрийский в трактате «О зеркалах», обосновал закон отражения света: при отражении луча от некоторой поверхности «угол падения равен углу отражения». Герон показал, что именно в случае равенства двух углов ход луча, идущего от одной заданной точки до другой с обязательным заходом на отражающую поверхность, оказывается минимальным. Это нетрудно показать с помощью симметрии относительно поверхности.

Этот метод, использующий симметрию, позволяет доказать результат, сформулированный выше: из всех треугольников равного периметра, имеющих общее основание, площадь максимальна у равнобедренного треугольника. Во-первых, переформулируем это утверждение таким образом: из всех треугольников с общим основанием равнобедренный треугольник имеет минимальный периметр, или же, что то же самое, минимальную сумму двух других сторон. Во-вторых, рассмотрим треугольники ABC с общим основанием BC = a и общей площадью S. Ясно, что у них будет общая высота h. Проведем через вершину A прямую l, параллельную основанию, и отразим вершину C относительно l: точка C – зеркальный образ точки C. Тогда, если передвигать точку A, то сумма отрезков BA и AC равна сумме отрезков BA и AC. Эта сумма минимальна, когда A лежит на прямой BC, то есть когда треугольник ABC – равнобедренный.

В Новое время идея Герона о минимальной длине светового луча была обобщена: П. Ферма сформулировал принцип, согласно которому форма светового луча, идущего от одной точки до другой при разнообразных условиях, подчиняется принципу наименьшего времени распространения света. Именно поэтому в однородной среде (в которой скорость света постоянна) луч распространяется по прямой (линии наименьшего расстояния); если луч отражается от некоторой поверхности, это происходит так, как было доказано Героном («угол падения равен углу отражения»); если свет переходит из среды в другую, где его скорость меняется (например, из воздуха в воду), то свет преломляется на границе.

Рис. 1. Преломление луча – результат различия скорости света в разных средах

Если свет переходит из одного слоя в другой в множестве слоев, и в каждом скорость света слегка меняется (что имеет место в земной атмосфере), то линия, по которой распространяется свет, то есть на которой достигается наименьшее время распространения, становится кривой (что, кстати, является причиной атмосферных миражей), а ее нахождение представляет собой непростую задачу.

Рис. 2. Мираж – следствие непрерывного изменения скорости света в атмосфере

В XVIII в. некоторые мыслители обобщили принцип наименьшего времени распространения света до основополагающего принципа философии природы, как писал Л. Эйлер: «В мире не происходит ничего, в чем не был бы виден смысл какого-нибудь максимума или минимума». Для решения задач на поиск кривой, на которой достигается максимальное или минимальное значение какой-либо характеристики (длины, времени распространения света и т. д.), Эйлер и другие математики разработали специальное вариационное исчисление, использующее методы математического анализа. В том числе это исчисление позволило дать доказательство того, что решением изопериметрической задачи является круг.

Тем не менее, и в более поздние времена некоторые математики стремились найти чисто геометрическое, и по возможности, элементарное доказательство этого факта. В этом плане особо значителен вклад Я. Штейнера, развившего несколько подходов к доказательству. Идею одного из этих подходов мы и изложим. Штейнер доказывает, что фигура, являющаяся решением изопериметрической задачи, обладает такими свойствами, из которых можно заключить, что это круг.

Во-первых, фигура, площадь которой наибольшая среди всех фигур того же периметра, должна быть выпуклой – то есть наряду с любыми двумя точками содержать также и отрезок, соединяющий эту точку.

Дело в том, что если фигура Ф не выпукла, то ее периметр можно уменьшить при одновременном увеличении площади, следовательно, такая фигура не может быть искомой. В самом деле, какие-то две точки A и B на границе невыпуклой фигуры соединяются хордой, частично не принадлежащей фигуре. Заменим часть периметра, идущую от A к B, хордой AB, и обозначим вновь образовавшуюся фигуру Ф1. Поскольку хорда короче дуги, периметр при такой замене уменьшится, а поскольку область между дугой и хордой раньше не принадлежала фигуре, а теперь вошла в ее состав, то площадь фигуры увеличится. Значит, искомая фигура выпукла.

Рис. 3. Решением изопериметрической задачи может быть только выпуклая фигура

Во-вторых, всякая хорда, делящая пополам периметр искомой выпуклую фигуры, делит пополам и ее площадь.

Пусть это не так, и данная хорда делит выпуклую фигуру Ф на две части Ф′ и Ф′′ с площадями S и S′′, где S > S′′. Тогда заменим часть Ф′′ на зеркальный образ части Ф′ относительно данной хорды. При этом периметр образовавшейся фигуры Ф1 останется прежним (т. к. хорда делила его на две равные части), а площадь увеличится, следовательно, фигура Ф – не искомая. Значит, в искомой фигуре всякая хорда, делящая пополам периметр, делит пополам и площадь (и наоборот: доказательство аналогично).

Рис. 4. Хорда, делящая периметр искомой фигуры пополам

В третьих, всякая хорда, делящая площадь искомой фигуры пополам, видна из всех точек контура фигуры под прямым углом. Вначале докажем простой факт: из всех треугольников с двумя данными сторонами наибольшую площадь имеет тот, у которого эти стороны перпендикулярны. Если принять одну из данных сторон за основание, то высота данного треугольника будет максимальна тогда, когда она совпадает с другой стороной, то есть между этими сторонами прямой угол; во всех остальных случаях высота меньше стороны.

Рис. 5. Хорда, делящая площадь искомой фигуры пополам

Затем рассмотрим хорду делящую площадь фигуры пополам (на части и ), и какую-либо точку на ее контуре (пусть она принадлежит части ). Если угол отличен от прямого, построим новую фигуру следующим образом. Построим треугольник у которого угол прямой, к сторонам и приложим сегменты, равные сегментам между контуром фигуры и хордами, соответственно, и Полученную фигуру зеркально отобразим относительно прямой У образовавшейся фигуры периметр равен периметру фигуры а площадь стала больше, потому что треугольник равен по площади треугольнику Итак, всякая хорда, делящая площадь искомой фигуры пополам, видна из всех точек контура фигуры под прямым углом. Из этого, конечно, непосредственно следует, что искомая фигура – круг.

Рис. 6. Хорда, делящая фигуру пополам, видна изо всех точек под прямым углом