Задача No. 55205

Стороны треугольника не превосходят 1. Докажите, что его площадь не превосходит ${\frac{\sqrt{3}}{4}}$ .

Подсказка

Наименьший угол треугольника не превосходит 60^o.

Решение

Пусть $\alpha$ — наименьший угол треугольника. Тогда $\alpha$ $\leqslant$ 60^o. Если этот угол заключен между сторонами a и b, а S — площадь треугольника, то

S = $\displaystyle {\textstyle\frac{1}{2}}$ ab sin $\displaystyle \alpha$ $\displaystyle \leqslant$ $\displaystyle {\textstyle\frac{1}{2}}$ sin 60^o = $\displaystyle {\frac{\sqrt{3}}{4}}$ .

Площадь равностороннего треугольника со стороной, равной 1, равна ${\frac{\sqrt{3}}{4}}$ .

Условие

Подсказка

Решение