Задача No. 54990

В трапеции ABCD боковая сторона AB равна основанию BC, угол BAD равен 60^o. Диагональ BD равна 3. Площадь треугольника ACD относится к площади треугольника ABC, как 2 : 1. Найдите все стороны трапеции ABCD.

Скрыть решение

Подсказка

Через вершину C проведите прямую, параллельную AB.

Решение

Через вершину C проведём прямую, параллельную боковой стороне AB, до пересечения с основанием AD в точке K. Тогда ABCK -- ромб.

Поскольку

$\displaystyle {\frac{S_{\Delta ACD}}{S_{\Delta ABC}}}$ = $\displaystyle {\frac{AD}{BC}}$ = 2,

то AD = 2BC = 2AK. Следовательно, KBCD — также ромб с острым углом 60^o.

Если M — точка пересечения прямых CK и BD, то BM — высота равностороннего треугольника KBC. Поэтому

CM = BMctg60^o = $\displaystyle {\textstyle\frac{3}{2}}$ ^. $\displaystyle {\frac{\sqrt{3}}{3}}$ = $\displaystyle {\frac{\sqrt{3}}{2}}$ .

Следовательно,

CD = BC = AB = AK = CK = $\displaystyle \sqrt{3}$ , AD = 2AK = 2 $\displaystyle \sqrt{3}$ .

Ответ

AB = BC = CD = $\sqrt{3}$ , AD = 2 $\sqrt{3}$ .

Условие

Подсказка

Решение

Ответ