В параллелограмме соединены середина каждой стороны с
концом следующей стороны, отчего получился внутренний
параллелограмм. Докажите, что его площадь составляет
площади данного параллелограмма.
Скрыть решение
Решение
Пусть K, L, M и N — середины сторон соответственно
AB, BC, CD и AD параллелограмма ABCD, площадь которого
равна S. Площадь параллелограмма, образованного пересечениями прямых
AL, BM, CN и DK, обозначим через s.
Через вершины A и C проведём прямые, параллельные
BM. Точки пересечения этих прямых с прямыми AL и CN являются
вершинами параллелограмма ARCQ (точки C и R лежат по одну сторону
от прямой BM).
Аналогично построим параллелограмм с противоположными вершинами B и D.
Общая часть двух построенных параллелограммов есть внутренний параллелограмм,
о котором говорится в условии задачи.
Если X — точка пересечения прямых AR и BM, то треугольник
LRC равен треугольнику LXB по стороне и двум прилежащим к ней углам.
Аналогично для всех таких треугольников, расположенных вне исходного
параллелогрпамма.
Тогда площадь "креста", образованного двумя построенными параллелограммами,
равна площади исходного параллелограмма, т.е. S. В то же время,
"крест" состоит из пяти равных параллелограммов, один из которых — параллелограмм,
площадь s которого нужно найти. Следовательно,
s =
S.
