Задача No. 54973

На стороне AC треугольника ABC взята точка E. Через точку E проведена прямая DE параллельно стороне BC и прямая EF параллельно стороне AB (D и F — точки на сторонах треугольника). Докажите, что S_BDEF = 2 $\sqrt{S_{\Delta ADE}\cdot S_{\Delta EFC}}$ .

Скрыть решение

Подсказка

Коэффициент подобия треугольников ADE и EFC равен $\sqrt{\frac{S_{\Delta ADE}}{S_{\Delta EFC}}}$ .

Решение

Поскольку

$\displaystyle {\textstyle\frac{1}{2}}$ ^. $\displaystyle {\frac{S_{BDEF}}{S_{\Delta ADE}}}$ = $\displaystyle {\frac{S_{\Delta BDE}}{S_{\Delta ADE}}}$ = $\displaystyle {\frac{DB}{AD}}$ = $\displaystyle {\frac{EF}{AD}}$ = $\displaystyle \sqrt{\frac{S_{\Delta EFC}}{S_{\Delta ADE}}}$ ,

то

S_BDEF = 2 $\displaystyle \sqrt{S_{\Delta ADE}\cdot S_{\Delta EFC}}$ .

Условие

Подсказка

Решение