Урок 3.11 Решение задач с параметром
с использованием графиков
входящих в условие задачи функций

Пример 4

Найти все значения параметра a, при каждом из которых уравнение имеет ровно одно решение.

Решение

Перепишем уравнение в виде:
Изобразим на координатной плоскости Oxy графики функций и , после чего отберем все те значения параметра a, при которых эти два графика пересекаются только в одной точке. Равенство равносильно системе:
Геометрически системе (1) соответствует нижняя полуокружность C1, отделяемая от окружности с центром
O1(3; 3) радиуса 1 прямой y = 3.
Аналогично, равенству соответствует нижняя полуокружность
C2(a), отделяемая от окружности с центром O2(a; a) радиуса 1 прямой y = a.
Изобразим эти полуокружности на рисунке. При изменении параметра a, центр O2 перемещается по прямой y = x. Перемещая центр O2(a; a) подвижной полуокружности C2(a), легко убедиться, что при a < 2 и a > 4 полуокружности вообще не пересекаются, при 2 ≤ a < 3 и 3 < a ≤ 4 полуокружности пересекаются ровно во второй точке, при a = 3 они совпадают. На рисунке изображены два крайних случая: C'2(a) (соответствует a = 2) и C"2(a) (соответствует a = 4).

Ответ

 

ИИСС "Алгебраические задачи с параметрами"