Задача No. 54770

Даны точки A и B. Для каждой точки M, не совпадающей с точкой B и лежащей на прямой AB, рассмотрим отношение AM : BM. Где расположены точки, для которых это отношение а) больше 2, б) меньше 2?

Скрыть решение

Решение

Пусть точка M₁ лежит на отрезке AB, причём AM₁ : M₁B = 2. Если M -- призвольная точка, лежащая между M₁ и B, то

$\displaystyle {\frac{AM}{MB}}$ > $\displaystyle {\frac{AM_{1}}{MB}}$ > $\displaystyle {\frac{AM_{1}}{M_{1}B}}$ = 2.

Пусть точка M₂ лежит на продолжении отрезка AB за точку B, причём B -- середина отрезка AM₂. Если M — произвольная точка, лежащая между B и M₂, то AB > MB, поэтому

$\displaystyle {\frac{AM}{MB}}$ = $\displaystyle {\frac{AB + MB}{MB}}$ = $\displaystyle {\frac{AB}{MB}}$ + 1 > 1 + 1 = 2.

Если точка M лежит на продолжении отрезка M₁M₂ за точку M₁, то

$\displaystyle {\frac{AM}{MB}}$ < $\displaystyle {\frac{AM_{1}}{MB}}$ < $\displaystyle {\frac{AM_{1}}{M_{1}B}}$ = 2.

Если точка M лежит на продолжении отрезка M₁M₂ за точку M₂, то

$\displaystyle {\frac{AM}{MB}}$ < $\displaystyle {\frac{AM_{2}}{MB}}$ < $\displaystyle {\frac{AM_{2}}{M_{2}B}}$ = 2.

Ответ

Пусть M₁ и M₂ — точки, в которых указанное отношение равно 2. а) Все отличные от B точки между M₁ и M₂; б) все точки прямой, не лежащие на отрезке M₁M₂.

Условие

Решение

Ответ