---

Показать решение

---

Скрыть решение

Подсказка

Из точки M проведите касательную к окружности и примените теорему о касательной и секущей.

Решение

Пусть точка A лежит между M и B. Через точку M проведём прямую, касающуюся окружности в точке C. Тогда угол ACM равен половине дуги AC, не содержащей точку B (угол между касательной и хордой), а т.к. вписанный угол ABC также равен половине этой дуги, то ACM = CBM, значит, треугольник ACM подобен треугольнику CBM по двум углам (угол при вершине M — общий для этих треугольников). Следовательно, = , откуда MA ^. MB = MC².

Пусть O — центр окружности. По теореме Пифагора из прямоугольного треугольника OCM находим, что

Следовательно,

Пусть точка A лежит между M и B. Через точку M проведём прямую, касающуюся окружности в точке C. Тогда угол ACM равен половине дуги AC, не содержащей точку B (угол между касательной и хордой), а т.к. вписанный угол ABC также равен половине этой дуги, то ACM = CBM, значит, треугольник ACM подобен треугольнику CBM по двум углам (угол при вершине M — общий для этих треугольников). Следовательно, = , откуда MA ^. MB = MC².

Пусть O — центр окружности. По теореме Пифагора из прямоугольного треугольника OCM находим, что

Следовательно,

Пусть точка A лежит между M и B. Через точку M проведём прямую, касающуюся окружности в точке C. Тогда угол ACM равен половине дуги AC, не содержащей точку B (угол между касательной и хордой), а т.к. вписанный угол ABC также равен половине этой дуги, то ACM = CBM, значит, треугольник ACM подобен треугольнику CBM по двум углам (угол при вершине M — общий для этих треугольников). Следовательно, = , откуда MA ^. MB = MC².

Пусть O — центр окружности. По теореме Пифагора из прямоугольного треугольника OCM находим, что

Следовательно,

Ответ

d² - R².