Скрыть решение
Подсказка
Из точки M проведите касательную к окружности и примените
теорему о касательной и секущей.
Решение
Пусть точка A лежит между M и B. Через точку M проведём
прямую, касающуюся окружности в точке C. Тогда угол ACM равен
половине дуги AC, не содержащей точку B (угол между касательной и
хордой), а т.к. вписанный угол ABC также равен половине этой дуги,
то
ACM =
CBM, значит, треугольник ACM подобен треугольнику CBM по
двум углам (угол при вершине M — общий для этих треугольников).
Следовательно,
=
, откуда
MA . MB = MC2.
Пусть O — центр окружности. По теореме Пифагора из
прямоугольного треугольника OCM находим, что
MC2 = MO2 - OC2 = d2 - R2.
Следовательно,
MA . MB = d2 - R2.
Пусть точка A лежит между M и B. Через точку M проведём
прямую, касающуюся окружности в точке C. Тогда угол ACM равен
половине дуги AC, не содержащей точку B (угол между касательной и
хордой), а т.к. вписанный угол ABC также равен половине этой дуги,
то
ACM =
CBM, значит, треугольник ACM подобен треугольнику CBM по
двум углам (угол при вершине M — общий для этих треугольников).
Следовательно,
=
, откуда
MA . MB = MC2.
Пусть O — центр окружности. По теореме Пифагора из
прямоугольного треугольника OCM находим, что
MC2 = MO2 - OC2 = d2 - R2.
Следовательно,
MA . MB = d2 - R2.
Пусть точка A лежит между M и B. Через точку M проведём
прямую, касающуюся окружности в точке C. Тогда угол ACM равен
половине дуги AC, не содержащей точку B (угол между касательной и
хордой), а т.к. вписанный угол ABC также равен половине этой дуги,
то
ACM =
CBM, значит, треугольник ACM подобен треугольнику CBM по
двум углам (угол при вершине M — общий для этих треугольников).
Следовательно,
=
, откуда
MA . MB = MC2.
Пусть O — центр окружности. По теореме Пифагора из
прямоугольного треугольника OCM находим, что
MC2 = MO2 - OC2 = d2 - R2.
Следовательно,
MA . MB = d2 - R2.
Ответ
d2 - R2.